Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate (Genauigkeit 5 Stellen gerundet nach dem Komma) die Parameter

Question

Moin moin Freunde der Mathematik, ich habe ein kleines Problem mit der Aufgabe, da ich nichtmal weiß wie ich anfangen soll...

Text erkannt:

Die Warmeleitfahigkeit eines Materials wird in Abhängigkeit von der Temperatur gemessen. In einem ersten Modellansatz wird von einem linearen Zusammenhang zwische gemessenen Warmeleitfahigkeit und der Temperatur ausgegangen:
\( \lambda(T)=C_{0}+C_{1} \cdot T \)
Die folgende Tabelle zeigt die gemessenen Werte, Warmeleitfahigkeit in \( \frac{W}{m \cdot K}, \) Temperatur in Celsius.
\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline Temperatur (C) & 20 & 100 & 200 & 400 & 600 \\
\hline Wärmeleitfahigkeit (W/mK) & \( \mathbf{3 . 1 6} \) & \( \mathbf{3 . 3 5} \) & \( \mathbf{3 . 4 3} \) & \( \mathbf{3 . 8} \) & \( \mathbf{4 . 2 6} \) \\
\hline
\end{tabular}
Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate (Genauigkeit 5 Stellen gerundet nach dem Komma) die Parameter

Answer 1

Hallo,

Die Aufgabe oben lautete zunächst mal:

Berechnen Sie mit der Methode der kleinsten Quadrate (Genauigkeit 5 Stellen gerundet nach dem Komma) die Parameter

Die sind \(C_0= 3,11440\,\text{W/(mK)}\) und \(C_1= 0,00184\,\text{W/m} \). Das sieht so aus

~plot~ {20|3.16};{100|3.35};{200|3.43};{400|3.8};{600|4.26};[[-50|700|-0.5|5]];0.00184x+3.11440 ~plot~

wie ermittle ich dann die summe der fehlerquadrate? Also die formel dafür kenne ich, aber was setze ich für "y_i" ein?

Die \(y_i\) sind hier die gemessenen Werte für die Wärmeleitfähigkeit. Und die Fehler sind jeweils die Abweichung des Wertes der Wärmeleitfähigkeit aus der Regressionsgeraden \(\lambda_i = C_0+C_1 T_i\) zum gemessenen Wert \(y_i\)$$S = \sum ( C_0 + C_1T_i - y_i)^2 \approx 0,00976$$

Comments

okay danke, soweit so klar. Also ist das erste lediglich die gerade.

Jetzt gehts aber noch weiter: wenn die dinger jetzt gewichtet werden, kann ich ja keine steigung mehr im sinne von m=(y1-y2)/(x1-x2) berechnen... wie muss ich dann vorgehen?

Text erkannt:

Wenn aufgrund unterschiedlicher Genauigkeit die Messwerte fur den Fit gewichtet werden (zu minimierende Funktion: \( \sum \limits_{i=1}^{10} w_{i}\left(y_{i}-f\left(x_{i}\right)\right)^{2} \) ) andert sich der Fit. Berechnen Sie fur mit den Wichtungsfaktoren der folgenden Tabelle die Fit-Funktion! \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline Temperatur (C) & 20 & 100 & 200 & 400 & 600 \\
\hline Warmeleitfahigkeit (W/mK) & 3.16 & 3.35 & 3.43 & 3.8 & 4.26 \\
\hline Wichtung (-) & 1 & 1 & 0.5 & 0.5 & 0.5 \\
\hline
\end{tabular}
Die Parameter(Genauigkeit 4 Stellen gerundet nach dem Komma) lauten dann:

---

kann ich ja keine steigung mehr im sinne von m=(y1-y2)/(x1-x2) berechnen... wie muss ich dann vorgehen?

Es bleibt dabei, dass die Fehlerquadrate miniert werden sollen, diesmal gewichtet: $$S = \sum w_i(y_i - C_0 - C_1T_i)^2 \to \min$$Dazu leite nach \(C_0\) und \(C_1\) ab und setze die Ableitungen zu 0:$$\begin{aligned} \frac{\partial S}{\partial C_0} &= -2\sum w_i(y_i - C_0 - C_1T_i) = 0 \\ \frac{\partial S}{\partial C_1} &= -2\sum w_i(y_i - C_0 - C_1T_i)T_i = 0 \\ \end{aligned}$$Das ist ein LGS mit zwei Unbekannten, was in Matrixform so aussieht:$$\begin{pmatrix} \sum w_i & \sum w_iT_i \\ \sum w_iT_i & \sum w_iT_i^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_0\\C_1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum w_iy_i\\ \sum w_iy_iT_i \end{pmatrix}$$Setze die Zahlen ein, und löse das LGS. Ich bekomme \(C_0=3.14239\) und \(C_1=0.00168\). Dazu der Plot:

~plot~ {20|3,16};{100|3,35};{200|3,43};{400|3,8};{600|4,26};[[-150|800|3|4.5]];0,00184x+3,11440;0.00181x+3.12817 ~plot~

wenn man genau hinsieht, hat die rote (gewichtete) Gerade eine etwas geringere Steigung, weil der Messpunkt bei 100° jetzt etwas mehr gewichtet ist, als z.B. der Messpunkt bei 600°.

Answer 2

Das ist doch nur die Bestimmung einer Ausgleichsgeraden. Kann man überall nachlesen oder steht in Deinem Skript. Wo ist also das Problem?

Comments

okay und wenn ich dann diese gerade habe, wie ermittle ich dann die summe der fehlerquadrate? Also die formel dafür kenne ich, aber was setze ich für "y_i" ein?

---

\( x_i \) sind die gegebenen Temperaturen und die \( y_i \) die Wärmeleitfähigkeiten.

---

ah okay und für yfit(x) setze ich meine ausgleichsgerade mit dem dazugehörigen x-wert ein?

---

Du hast ja dann die Parameter \( C_0 \) und \( C_1 \) bestimmt. Dann gilt

$$ \lambda_{fit}(x) = C_0 + C_1 x $$

Answer 3

Aloha :)

Stelle aus der Funktionsgleichung$$\lambda(T)=C_0+C_1\cdot T$$und den Messwerten ein Gleichungssystem für die Unbekannten \(C_0\) und \(C_1\) auf, indem du die Werte für \(T\) und \(\lambda(T)\) einsetzt:$$\begin{array}{rrr}C_0 & C_1 & =\\\hline 1 & 20 & 3,16\\1 & 100 & 3,35\\1 & 200 & 3,43\\1 & 400 & 3,80\\1 & 600 & 4,26\end{array}$$Darin steht z.B. die dritte Zeile für die Gleichung \(1\cdot C_0+200\cdot C_1=3,43\). Dieses Gleichungssystem kannst du in die Matrixschreibweise überführen:$$\left(\begin{array}{rrr}1 & 20\\1 & 100\\1 & 200\\1 & 400\\1 & 600\end{array}\right)\cdot\binom{C_0}{C_1}=\left(\begin{array}{rrr}3,16\\3,35\\3,43\\3,80\\4,26\end{array}\right)$$Du hast nun viel mehr Gleichungen als Variablen. Nach der Methode der Gauß'schen Fehlerquadrate findest du die am "besten" passende Lösung, wenn du beide Seiten der Gleichung mit der transponierten Koeffizenten-Matrix multiplizierst

$$\left(\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\20 & 100 & 200 & 400 & 600\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{rrr}1 & 20\\1 & 100\\1 & 200\\1 & 400\\1 & 600\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}5 & 1320\\1320 & 570\,400\end{array}\right)$$$$\left(\begin{array}{rrrrr}1 & 1 & 1 & 1 & 1\\20 & 100 & 200 & 400 & 600\end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{r}3,16\\3,35\\3,43\\3,80\\4,26\end{array}\right)=\binom{18}{5160,2}$$

Damit reduziert sich das Problem auf das LGS:$$\left(\begin{array}{rr}5 & 1320\\1320 & 570\,400\end{array}\right)\binom{C_0}{C_1}=\binom{18}{5160,2}$$mit der Lösung:$$\binom{C_0}{C_1}=\binom{3,11440}{0,00184}$$$$\boxed{\lambda(T)=3,11440+0,00184\cdot T}$$

Answer 4

$$c=(T^TT)^{-1}T^Tλ$$

Mit

$$T=\begin{pmatrix} 1 & 20 \\1  & 100\\1&200\\1&400\\1&600 \end{pmatrix} λ= \begin{pmatrix} 3,16 \\ 3,35\\3,43\\3,8\\4,26\end{pmatrix} $$

$$c=\begin{pmatrix}C_0 \\C_1 \end{pmatrix} $$