GRUPPE Welche der folgenden Aussagen sind wahr?

Question

Aufgabe:

…

Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
(i) FürjedenKörperK undfürallea∈K gilt2·a=a+a,wobei2:=1+1.
(ii) Der Körper F2 ist ein Unterkörper von dem Körper Q.
(iii) Der Körper F2 ist ein Unterkörper von dem Körper F3.
(iv) Es gibt genau 54 Polynome f ∈ F3[x] mit deg(f) = 3.
(v) Die Gradformel deg(f g) = deg(f ) + deg(g) aus Bemerkung 2.3.6 gilt auch für Polynome f, g ∈ Z/6Z[x].

Problem/Ansatz:

Answer 1

(i) FürjedenKörperK undfürallea∈K gilt2·a=a+a,wobei2:=1+1.

ja, Distributiv: a+a=1*a+1*a=(1+1)*a=2*a
(ii) Der Körper F2 ist ein Unterkörper von dem Körper Q.

   nein, in Q gilt ja nicht 1+1=0 
(iii) Der Körper F2 ist ein Unterkörper von dem Körper F3.

      nein, in F3  gilt ja nicht 1+1=0

(iv) Es gibt genau 54 Polynome f ∈ F3[x] mit deg(f) = 3.  Ja, wenn man

ax^3+bx^2+cx+d hat mit Grad 3, dann ist a=1 oder a=2 und für die anderen 3 Koeffizienten gibt
es je 3 Möglichkeiten, also 2*3^3 = 54

(v) Die Gradformel deg(f g) = deg(f ) + deg(g) aus Bemerkung 2.3.6 gilt auch für Polynome f, g ∈ Z/6Z[x].  nein: f= 2x^2 + x und g=3x^2 + x ==>  f+g= 5x^3+x^2 

            also  grad 2               grad 2                        grad 3