Funktion auf Extrema untersuchen

Question

Aufgabe:

Die Funktion f(x) = x⁶-x⁵-x⁴ soll auf Extrema an der Stelle x=0 untersucht werden.

Ich bin für jeden Ansatz dankbar. Mit der normalen 1. Ableitung =0 und 2. Ableitung von x=0 Methode funktioniert das leider nicht :/

Answer 1

Verwende das Kriterium

"Ableitung 0 und Vorzeichenwechsel der Ableitung".

Das musst du natürlich nur an der einen von den drei extremwertverdächtigen Stellen tun, an denen dein verwendetes Kriterium nicht liefert.

Comments

Das verstehe ich leider nicht so ganz. Wie soll ich denn das Vorzeichenwechselkriterium anwenden? sich der 0 einmal von + und einmal von - nähern? und dann für x einsetzen?

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Die Ableitung ist 6x⁵-5x⁴-4x³ =x³(6x²-5x-4).

Sie hat an der Steller 0 den Wert 0, also Verdacht auf Extremstelle.

Der Term x³  ist für x>0  positiv und für x<0 negativ.

Der Term 6x²-5x-4 hat an der Stelle 0 den Wert -4, und auch unmittelbar links und rechts von 0 ist  6x²-5x-4  noch negativ.
(Der Term 6x²-5x-4 wechselt erst bei seinen Nullstellen -1/2 bzw. 4/3 ins Positive).

Damit wechselt die Ableitung 6x²-5x-4 an der Stelle x=0 das Vorzeichen, denn links von 0 ist sie positiv (minus mal minus), und rechts von 0 ist sie negativ (plus mal minus).

Wenn die Ableitung links von 0 positive Werte hat, ist die Funktion links von 0 also wachsend. Rechts von 0 werden die Ableitungswerte (=Anstieg der Funktion) negativ.

Es geht also erst "bergauf" und dann "bergab". So etwas nennt man "Hochpunkt".