Wie lautet das Taylorpolynom zweiten Grades von V(r), wenn die Entwicklung um das Minimum von V(r) vorgenommen wird?

Question

Aufgabe:

Potentialkurven zweiatomiger Moleküle werden häufig durch Morse Potentiale der Form                                                           V(r)=-a(2e^-b(r-c)-e^-2b(r-c)) angenähert. Wie lautet das Taylorpolynom zweiten Grades von V(r), wenn die Entwicklung            um das Minimum von V(r) vorgenommen wird?

Wahrscheinlich muss man die Funktion V(r)  ableiten und in die Taylorreihenfunktion einsetzen. Ist die Entwicklungsstelle dann =0 ? Hab leider keine Idee wie ich hier vorgehen muss.

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Kann hier jemand weiterhelfen?

Answer 1

Bestimme die erste Ableitung von \( V(r) \) und dessen Nullstellen und beweise das es ein Minimum ist. Hinweis: Das Minimum ist \( \ne 0 \).

Entwickle die Funktion um den gefundenen Punkt bis zu zweiten Ordnung.

Für \( a = b = c = 1 \) sieht z.B so aus.

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Answer 2

Hallo,

überlege dir, welche Bedeutung die Variablen in dem Potential haben. Es sollte schnell klar sein, dass das Minimum bei r=c liegt. Kann man auch nachrechnen.

Ansonsten schaue hier:

https://de.m.wikipedia.org/wiki/Morse-Potential

Dann ist bloß das Taylorpolynom an der Stelle r=c zu entwickeln. Nutze die Taylorreihe der e-Funktion.

Als Lösung kommt ein quadratisches, also harmonisches Potential heraus.

Lösung

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T(r,c) = -a[ 1 - b^2 (r-c)^2 ]

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