Wahrscheinlichkeit, dass die Person tatsächlich infiziert ist?

Question

Wir nehmen an, dass ein Test für Sars-CoV-2 eine Sensitivität von 0,7 und eine
Spezifizität von 0,95 hat. Weiterhin sind 0,5% der Bevölkerung mit dem Virus infiziert.

Eine zufällig gewählte Person wird getestet und erhält einen positiven Test. Wie hoch ist die
Wahrscheinlichkeit, dass die Person tatsächlich infiziert ist?

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Wie hoch ist die Infektionswahrscheinlichkeit bei zwei negativen Tests?

Stichworte: wahrscheinlichkeitsrechnung

Ein Test für Sars-CoV-2 hat eine Sensitivität von 0,7 und eine Spezifizität von 0,95.
Eine Person hatte Kontakt mit einer infizierten Person und entwickelt typische
COVID-19 Symptome. Wir schätzen deshalb die Wahrscheinlichkeit einer Infektion vor dem
Test auf 90%. In der Vorlesung haben wir die Infektionswahrscheinlichkeit berechnet, falls die
Person einmal negativ getestet wurde. Wie hoch ist die Infektionswahrscheinlichkeit bei zwei
negativen Tests? Nehmen Sie an, dass die Fehlerquellen der beiden Tests unabhängig sind.

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Bitte Fragen zu einem Sachverhalt auch zusammen stellen und nicht auseinanderpflücken.

Answer 1

Aloha :)

Pssst, so eine Frage darfst du eigentlich gar nicht stellen, denn die Antwort wird viele überraschen. Die Sensitiviät \((0,7)\) gibt den Anteil der richtig Positiven an, d.h. Kranke, die der Test auch als krank erkennt. Die Spezifizität \((0,95)\) gibt den Anteil der richtig Negativen an, d.h. Gesunde, die der Test auch als gesund erkennt. Lass uns das mal in einer Tabelle zusammenfassen:$$\begin{array}{rrr} & \text{C-infiziert} & \text{C-frei} & \text{Summe}\\\hline\text{Test pos.} & 0,7\cdot0,005& & \\\text{Test neg.} & & 0,95\cdot0,995 & \\\hline\text{Summe} & 0,005 & 0,995 &\end{array}$$

Den Rest der Tabelle können wir durch Summieren ausfüllen:$$\begin{array}{rrr} & \text{C-infiziert} & \text{C-frei} & \text{Summe}\\\hline\text{Test pos.} & 0,00350 & 0,04975 & 0,05325 \\\text{Test neg.} & 0,00150 & 0,94525 & 0,94675 \\\hline\text{Summe} & 0,00500 & 0,99500 & 1,00000\end{array}$$

Die gesuchte Wahrscheinlichkeit, dass ein postitiv Getester auch wirklich infiziert ist, beträgt daher:

$$p=\frac{p(\text{Test pos. UND C-infiziert})}{p\text{(Test pos.)}}=\frac{0,00350}{0,05325}\approx0,06573\approx6,57\%$$

Comments

Aloha :)

Vielen Dank Tschakabumba. Der zweite Teil der Aufgabe war etwas anders gestellt.

Ein Test für Sars-CoV-2 hat eine Sensitivität von 0,7 und eine Spezifizität von 0,95.
Eine Person hatte Kontakt mit einer infizierten Person und entwickelt typische
COVID-19 Symptome. Wir schätzen deshalb die Wahrscheinlichkeit einer Infektion vor dem
Test auf 90%. In der Vorlesung haben wir die Infektionswahrscheinlichkeit berechnet, falls die
Person einmal negativ getestet wurde. Wie hoch ist die Infektionswahrscheinlichkeit bei zwei
negativen Tests? Nehmen Sie an, dass die Fehlerquellen der beiden Tests unabhängig sind.