wie sollte ich es am besten einmal anwenden bzw orthogonalisieren?

Question

hallöchen liebe Leute,

eine frage zu gram Schmidt verfahren.

ich habe mich jetzt stundenlang mit dem verfahren im r^3 schlau gemacht, nun würde all zu gerne wissen, wie ich es nun für die Aufgabe zu r^4 anwenden muss.

i)v1=(2,1,0,2)

v2=(1,1,1,3)

v3=(-4,-3,1,1)

ii)ergänzen sie das Ergebnis aus i) zu einer orthonormalbasis des r^4

wie sollte ich es am besten einmal anwenden bzw. orthogonalisieren?

ich bedanke mich jetzt schon für all die mühe und die Rückmeldung.

Answer 1

das ist eine ziemlich aufwändige rechnerei

siehe

https://www.geogebra.org/m/dhbz55y4

dann würde ich

e4={0,0,0,1}

dazu nehmen

und ausrichten

c4:=e4 -cdot(e4,o3) o3 - cdot(e4, o2) o2 - cdot(e4, o1) o1

berechnen und normieren

o4:=(c4/cbetrag(c4))

was auf

\(\small o4 \, :=  \, \left\{ \frac{-\sqrt{2}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{3}, \frac{-\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{6} \right\} \)

führt

Answer 2

Das geht genauso: Du machst eine Summe von v1 mit a*v2 die

orthogonal zu v1 ist , also w2 = v1 + a*v2 mit

                            (  v1 + a*v2 )*   v1 = 0

                                           9  + b* 9= 0   ==>   b =  -1

Dann ist also  w2 = ( 1 ; 0 ; -1 ; -1 )   (Normieren kann man später noch.)

Dann w3 mit v1 + a*w2 + b*v3   muss orthogonal zu v1 und w2 sein, also

               (  v1 + a*w2 + b*v3 ) * v1 = 0   und   (  v1 + a*w2 + b*v3 ) * w2 = 0

             9 +   a*0   +   b* -9 = 0      und   0   +   a*3   +   b*(-6) = 0

           ==>       b=1                        und   a=2

also w3 = (  0  ;  -2  ;  -1  ;   1 ) .

Damit hast du eine orthogonale Basis für < v1,v2,v3> , nämlich

(2,1,0,2) , ( 1 ; 0 ; -1 ; -1 )   , (  0  ;  -2  ;  -1  ;  1 ) .

Jetzt brauchst du einen, der zu allen dreien orthogonal ist, das kannst

du mit dem homogenen Gleichungssystem machen mit der Matrix

2    1    0    2 
1    0    -1    -1
0    -2    -1    1

Das gibt mit Gauss z.B. eine Lösung ( -2;2;-3;1).

Den tust du oben dabei und hast eine orthogonale Basis von R^4.

(2,1,0,2) , ( 1 ; 0 ; -1 ; -1 )  , (  0  ;  -2  ;  -1  ;  1 ) , ( -2;2;-3;1).

Jetzt musst du alle noch normieren, also durch die Länge teilen, gibt

(1/3)* (2,1,0,2) ,       (1/√3)*( 1 ; 0 ; -1 ; -1 )  ,
(1/√6)*(  0  ;  -2  ;  -1  ;  1 ) ,       (1/√18)*( -2;2;-3;1).

Comments

kann ich es auch so berechnen oder ist es nur für r^3 möglich das ist jetzt ein anderes bespiel:

Mit dem Orthonormalisierungsverfahren nach Gram-Schmidt berechnet man b 1 = v 1 = √ 1 v 1 = √1 ( 12 ) ,
∥v1∥ 12+22+02 5 0
sowie
und
2211212 b ̃2=v2−⟨v2,b1⟩b1=(0)−⟨(0),√1 (2)⟩√1 (2)=(0)−152(2)=45(−1),
005050000
b ̃2 √2 2 1541
b = = √ b ̃ = ( − 1 ) = √ ( − 1 ) , 242
∥b ̃2∥ 5 5 4 5 0 5 0
0210
b ̃3 =v3−⟨v3,b1⟩b1−⟨v3,b2⟩b2 =(2)−15(−2)(−1)−154(2)=(0) ,
1001
b3= b ̃3 =(0). ∥ b ̃ 3 ∥ 1
120
DieVektorenb1=√1 (2),b2=√1 (−1)undb3=(0)bildeneineOrthonormalbasisdesR3.

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was soll eigentlich a in deiner Rechnung dartsellen?

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hab das ehrlich gesagt überhaupt nicht nachvollziehen können aber trotzdem vielen dank