Aloha Hannuschuetze ;)
Willkommen in der Mathelounge...
Die Masse M des Kegelstumpfes bekommen wir, indem wir über die Dichte ρ(r) integrieren. Da die Dichte auf Kubik-Zentimeter bezogen wird, rechnen wir in dieser Aufgabe alle Längen mit der Einheit Zentimeter.
Der maximale Radius rmax des Kegels hängt von der Höhe z ab, er wächst linear von rmax(2)=1 auf rmax(0)=2 an. Das ergibt den Zusammenhang:rmax(z)=2−21z;z∈[0∣2]Damit können wir einen Vektor r in Zylinderkoordinaten angeben, der den Kegel abtastet:r=⎝⎛rcosφrsinφz⎠⎞;r∈[0∣∣∣2−2z];z∈[0∣2];φ∈[0;2π]Beim Übergang von kartesischen Koordinaten zu Zylinderkoordinaten wird das Volumenelement dV verzerrt, konkret gilt:dV=dxdydz=rdrdφdzDamit können wir das Integral für die Masse wie folgt formulieren:
M=0∫2dz0∫2−z/2rdr0∫2πdφ(1,9+1,7rcosφ+0,9z2)
Als erstes integrieren wir über dφ, weil dann der Cosinus-Term wegällt:
M=0∫2dz0∫2−z/2rdr[1,9φ+1,7rsinφ+0,9z2φ]02πM=0∫2dz0∫2−z/2rdr(1,9⋅2π+0,9⋅2πz2)M=2π0∫2dz0∫2−z/2drr(1,9+0,9z2)
Als nächstes müssen wir über dr integrieren, weil die obere Grenze von dr die Variable z enthält:
M=2π0∫2dz(1,9+0,9z2)[2r2]02−z/2=2π0∫2dz(1,9+0,9z2)2(2−2z)2M=π0∫2dz(1,9+0,9z2)(4−2z+4z2)M=π0∫2(0,225z4−1,8z3+4,075z2−3,8z+7,6)dzM=π[50,225z5−41,8z4+34,075z3−23,8z2+7,6z]02=π⋅12,7067≈39,9
Gerundet passt das Ergebnis 39,9kg am besten ;)