Zeigen Sie, dass die Differenzenquotienten von f in den Intervallen [a; b] und [a-1; b+1] übereinstimmen.

Question

Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f mit f(x) = x². Zeigen Sie, dass die Differenzenquotienten von f in den Intervallen [a; b] und [a-1; b+1] übereinstimmen.

Problem/Ansatz:

1. Intervall:

\( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \) = \( \frac{b²-a²}{b-a} \) = \( \frac{(b+a)*(b-a)}{b-a} \) = b+a

2. Intervall:

\( \frac{f(b)-f(a)}{b-a+2} \) = \( \frac{(b²+2b+1)-(a²-2a-1)}{b-a+2} \) = \( \frac{(b²-a²+2b+2a}{b-a+2} \) =

\( \frac{(b-a)²+2(b+a)}{b-a+2} \) = \( \frac{b+a + 2(b+a)}{2} \) = b+a*(b+a) = b² + a²

Aber bei mir stimmt der Differenzenquotient von dem ersten Intervall nicht mit dem der zweiten.

Answer 1

Aloha :)

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=\frac{b^2-a^2}{b-a}=\frac{(b+a)(b-a)}{b-a}=b+a$$

$$\frac{f(b+1)-f(a-1)}{(b+1)-(a-1)}=\frac{(b+1)^2-(a-1)^2}{(b+1)-(a-1)}=\frac{[(b+1)+(a-1)]\cdot[(b+1)-(a-1)]}{(b+1)-(a-1)}$$$$\qquad=(b+1)+(a-1)=b+a$$

Comments

Dankeschön für die Lösung.

Answer 2

Hallo Klemens21221,

was dir Tschaka im Überschwang des eigenen Lösungsvorschlags nicht verraten hat:

Dein Fehler lag darin, dass in deiner Rechnung 1-(-1) fälschlicherweise zu 0 wurde.

Comments

Ahhhh...ich sehe es. Dankeschön

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Hallo abakus,

vielen Dank für deine Antwort, ich verstehe jedoch nicht, wo du den Fehler entdeckt hast, ich könnte nur vermuten, dass du \( \frac{(b²+2b+1)-(a²-2a-1)}{b-a+2} \) meinst, aber der zweite Teil davon ist falsch, es müsste jedoch folgendermaßen sein, da die zweite binomische Formel folgendermaßen lautet: (a-b)² = a² - 2ab + b²

Daher würde das doch sein: \( \frac{(b²+2b+1)-(a²-2a+1)}{b-a+2} \)

Ich habe gesehen, dass Tschakabumba es anders löst, jedoch verstehe ich nicht, wo mein Fehler liegt. Wenn Sie das mir sagen könnten, würde ich Ihnen sehr dankbar sein.