Zeigen Sie, dass alle Zahlen xn gleich sind.

Question

Text erkannt:

a) An jedem ganzzahligen Punkt $n \in \mathbb{Z}$ der Zahlengeraden steht eine natürliche Zahl $x_{n} \in \mathbb{N}$. Jede Zahl $x_{n}$ ist der Mittelwert ihrer beiden Nachbarn, d.h.
$$x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n+1}}{2} \quad \forall n \in \mathbb{Z}$$
Zeigen Sie, dass alle Zahlen $x_{n}$ gleich sind.
b) An jedem Gitterpunkt $(m, n) \in \mathbb{Z}^{2}$ der Ebene steht eine natürliche Zahl $x_{m, n} \in \mathbb{N}$. Jede Zahl $x_{m, n}$ ist das arithmetische Mittel ihrer vier Nachbarn, d.h.
$$x_{m, n}=\frac{x_{m-1, n}+x_{m+1, n}+x_{m, n-1}+x_{m, n+1}}{4} \quad \forall m, n \in \mathbb{Z} .$$
Zeigen Sie, dass alle Zahlen $x_{m, n}$ gleich sind.

Problem/Ansatz

Ich weiß nur, dass ich dort anscheinend einen Beweis durch Widerspruch machen soll, da die 0 keine natürliche Zahl ist. Kann mir da einer helfen ?

Answer 1

a)

$x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n+1}}{2} \quad \forall n \in \mathbb{Z} \\ x_{n+1}=2x_n-x_{n-1}$

Sei $x_n=x_{n-1}+d$,

dann ist $x_{n+1}=x_{n}+d$.

Die x-Werte bilden also eine arithmetische Folge. Allerdings gibt es keinen Anfangswert, da die Indizes n ganze Zahlen sind.

$x_{n}=x_{0}+n\cdot d$

Zu einem gegebenen Wert von d ungleich Null gibt es Werte für n, sodass $x_n$ negativ wird. Da alle x aber natürliche Zahlen sind, muss d=0, x also konstant sein.

:-)

Comments

Und Aufgabe b muss ich dann genauso machen ?