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a) An jedem ganzzahligen Punkt nZ n \in \mathbb{Z} der Zahlengeraden steht eine natürliche Zahl xnN x_{n} \in \mathbb{N} . Jede Zahl xn x_{n} ist der Mittelwert ihrer beiden Nachbarn, d.h.
xn=xn1+xn+12nZ x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n+1}}{2} \quad \forall n \in \mathbb{Z}
Zeigen Sie, dass alle Zahlen xn x_{n} gleich sind.
b) An jedem Gitterpunkt (m,n)Z2 (m, n) \in \mathbb{Z}^{2} der Ebene steht eine natürliche Zahl xm,nN x_{m, n} \in \mathbb{N} . Jede Zahl xm,n x_{m, n} ist das arithmetische Mittel ihrer vier Nachbarn, d.h.
xm,n=xm1,n+xm+1,n+xm,n1+xm,n+14m,nZ. x_{m, n}=\frac{x_{m-1, n}+x_{m+1, n}+x_{m, n-1}+x_{m, n+1}}{4} \quad \forall m, n \in \mathbb{Z} .
Zeigen Sie, dass alle Zahlen xm,n x_{m, n} gleich sind.


Problem/Ansatz

Ich weiß nur, dass ich dort anscheinend einen Beweis durch Widerspruch machen soll, da die 0 keine natürliche Zahl ist. Kann mir da einer helfen ?

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a)

xn=xn1+xn+12nZxn+1=2xnxn1x_{n}=\frac{x_{n-1}+x_{n+1}}{2} \quad \forall n \in \mathbb{Z} \\ x_{n+1}=2x_n-x_{n-1}

Sei xn=xn1+dx_n=x_{n-1}+d,

dann ist xn+1=xn+dx_{n+1}=x_{n}+d.

Die x-Werte bilden also eine arithmetische Folge. Allerdings gibt es keinen Anfangswert, da die Indizes n ganze Zahlen sind.

xn=x0+ndx_{n}=x_{0}+n\cdot d

Zu einem gegebenen Wert von d ungleich Null gibt es Werte für n, sodass xnx_n negativ wird. Da alle x aber natürliche Zahlen sind, muss d=0, x also konstant sein.


:-)

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Und Aufgabe b muss ich dann genauso machen ?

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