Zeigen oder widerlegen Sie Vektorräume

Question

Aufgabe:

Seien $V$ und $W$ Vektorräume über einem Körper $K$ und sei zudem $f: V \rightarrow W$ eine lineare Abbildung. Zeigen oder widerlegen Sie:
(i) Es gilt $f(0)=0$.
(ii) Es gilt $f(-v)=-f(v)$ für alle $v \in V$.
(iii) Werden mindestens zwei Vektoren aus $V$ auf den Nullvektor abgebildet, so bildet $f$ jeden Vektor aus $V$ auf den Nullvektor ab.
(iv) Ist $\left(v_{i}\right)_{i \in I} \in V^{I}$ so, dass $\left(f\left(v_{i}\right)\right)_{i \in I} \in W^{I}$ linear unabhängig ist, so ist auch $\left(v_{i}\right)_{i \in I} \in V^{I}$ linear unabhängig.
(v) Ist $\left(v_{i}\right)_{i \in I} \in V^{I}$ eine Basis so, dass $\left(f\left(v_{i}\right)\right)_{i \in I} \in W^{I}$ eine Basis ist, so ist $f$ ein Isomorphismus.

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