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Aufgabe:

Zeigen oder widerlegen Sie:


Problem/Ansatz:

Hallo, ich habe die folgenden Aufgaben gelöst, aber wäre sehr dankbar, wenn da jemand drüber schauen könnte, um mich ggf. auf Fehler hinzuweisen.

Sei V ein K-Vektorraum. Zeigen oder widerlegen Sie: (i) Ein einzelner Vektor v ∈ V ist linear unabhängig genau dann, wenn v ̸= 0.
(ii) Sind v1, v2 ∈ V linear abhängig, so existiert v ∈ V mit v1, v2 ∈ ⟨v⟩.
(iii) Sind v1, v2, v3 ∈ V paarweise linear unabhängig, so auch v1, v2, v3.
(iv) Sind v1, v2 ∈ V und v2, v3 ∈ V linear abhängig, so auch v1, v3, falls v2 ̸= 0.

zu i):

Angenommen ein einzelner Vektor v ∈ V ist linear unabhängig, genau dann wenn v = 0, d.h:

0 = λ(v1). Doch wenn v = 0, kommt immer der Nullvektor heraus, unabhängig davon welchen Wert λ ∈ K hat, es kann also auch λ != 0 sein, was der Definition von linearer Unabhängigkeit widerspricht.

Die Aussage ist also wahr.

zu ii);

Angenommen v1, v2 ∈ V sind linear abhängig und es gilt für alle v ∈ V: v1,v2 ∉ <v>

Da v1, v2 linear abhängig sind, gibt es ein λ ∈ K mit v1 = λ(v2) (analog für v2), d.h v2 ∈ <v1> und offensichtlich ist v1 ∈ <v1>, also sind v1,v2 ∈ <v1>, was einen Widerspruch zur Annahme darstellt.

Die Aussage ist also auch wahr

zu iii):

Betrachten die logisch äquivalente Aussage: Seien v1, v2, v3 ∈ V linear abhängig, dann sind v1,v2,v3 paarweise linear abhängig.

Mit v1, v2, v3 linear abhängig folgt -> <v1> = <v2> = <v3> ⇒ <v1> = <v2>  ⇒ v1,v2 sind linear abhängig

                                                                                           ⇒ <v2> = <v3> ⇒ v2,v3 sind linear abhängig

                                                                                           ⇒ <v1> = <v3> ⇒ v1,v3 sind linear abhängig.

Die Aussage ist also wahr.

zu iv):

Angenommen v1,v2 ∈ V und v2,v3 ∈ V sind linear abhängig und v1,v3 sind linear unabhängig dann gilt:

v1,v2 linear abhängig ⇒ <v1> = <v2>

v2,v3 linear abhängig ⇒ <v2> = <v3>

⇒ <v1> = <v3>, was einen Widerspruch zur Voraussetzung das v1 und v3 linear unabhängig sind.

Die Aussage ist also auch wahr.

von

1 Antwort

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Beste Antwort

zu ii)  Du musst wohl den Fall: Einer von beiden ist 0, extra betrachten; denn für

v1 = 0*v2   also v1=0  gilt zwar v1 ∈ <v2> aber nicht umgekehrt.

iii)  Betrachte in R^2

1    und   0    und    1
1              1                2
sind lin. abh., aber paarweise nicht. Aussage also falsch.

Bei vi) musst du auch v1 bzw v3 = Nullvektor bedenken.

Da sind die Gleichungen <v1> = <v2> und <v3> = <v2>

wohl nicht richtig. Die Aussage ist aber wahr, du musst v2≠0 benutzen.

von 214 k 🚀

Hi Mathef,


Danke erstmal für die Antwort.

Zu II) : das verstehe ich nicht,denn wenn v1 Element aus < v2>, dann ist sowohl v1 und v2 Element von <v2> und dann ist doch der Widerspruchsbeweis schon zu Ende da gezeigt wurde das eben nicht für alle v aus V gilt v1, v2 kein Element aus <v>, also in diesem Fall v = v2.

Zu III) : Dankeschön, an die Konstellation hatte ich nicht gedacht.

Zu IV) : also es sollte dann reichen wenn ich diesen Schritt mit v2! =0 begründe oder?

v1 = λ(v2) , d.h v2 ∈ <v1> ist für λ=0 i. allg. falsch.

bei iv) meinst du v2≠0 ? Dann sind die

Erzeugnisse immer noch nicht gleich, wenn v1 oder v3 gleich 0 ist.

Ich würde da eher v1 oder v3 gleich 0 vorab klären,

(Da stimmt es ja auch) . Und dann kannst du deinen

Beweis für ( alle ungleich 0) durchziehen.

Okay wie würdest du das mit dem λ = 0 erledigen? Kann ich einfach sagen das o.B.d.A λ ! = 0 ist?

Etwa so:

1. Fall : v1 oder v3 sind der Nullvektor.

Dann sind v1,v2,v3 lin. abhängig, weil unter ihnen der

Nullvektor vorkommt.

2. Fall v1 und v3 sind beide nicht 0, und v2 ja nach Vor. nicht.

Dann gilt...... Dann passt dein Beweis ja !

Alles klar, danke für deine Mühe und Begründungen. Ich Weiss das zu schätzen!

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