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Aufgabe:

Gegeben sei eine Gruppe (G,*) und es gilt g * g = e für alle g ∊ G. Zeige, dass G abelsch ist.


Hey! Brauche Hilfe bei o.g. Aufgabe aber komme nicht weiter, da die zugehörige Vorlesung nicht stattfand. Allein kann ich es mir nicht erschließen :/

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Aloha :)

Die gegebene Voraussetzung bedeutet, dass jedes Element g(G,)g\in(G,\ast) zu sich selbst invers ist, d.h. g=g1g=g^{-1}. Daher schlage ich vor, dass wir uns überlegen, wie das Inverse Element zu aba\ast b aussieht, wobei natürlich a,b(G,)a,b\in(G,\ast) gelten soll. Wir setzen dazu x(ab)1x\coloneqq(a\ast b)^{-1} und berechnen:

x(ab)=e  Assoziativ-Gesetz\left.x\ast(a\ast b)=e\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}(xa)b=e  b1 von rechts\left.(x\ast a)\ast b=e\quad\right|\;\ast b^{-1}\text{ von rechts}((xa)b)b1=b1  Assoziativ-Gesetz\left.((x\ast a)\ast b)\ast b^{-1}=b^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}(xa)(bb1)=b1  (bb1)=e\left.(x\ast a)\ast (b\ast b^{-1})=b^{-1}\quad\right|\;(b\ast b^{-1})=exa=b1  a1 von rechts\left.x\ast a=b^{-1}\quad\right|\;\ast a^{-1}\text{ von rechts}(xa)a1=b1a1  Assoziativ-Gesetz\left.(x\ast a)\ast a^{-1}=b^{-1}\ast a^{-1}\quad\right|\;\text{Assoziativ-Gesetz}x(aa1)=b1a1  (aa1)=e\left.x\ast (a\ast a^{-1})=b^{-1}\ast a^{-1}\quad\right|\;(a\ast a^{-1})=ex=b1a1x=b^{-1}\ast a^{-1}

Damit sind wir fertig, denn:ab=(ab)1=x=b1a1=baa\ast b=(a\ast b)^{-1}=x=b^{-1}\ast a^{-1}=b\ast a

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Vielen Dank! Kurz, knapp & dennoch verständlich erklärt! :)

Kurz, knapp wäre

ab = e ab e =  bb ab aa =  b ba ba a =  b e a =  ba

Danke für deinen hilfreichen Beitrag. Hat mir bei meiner Aufgabe weitergeholfen. Was mich dabei interessieren würde, ob da auch die Umkehrung gilt?

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