0 Daumen
112 Aufrufe

Liebes Forum, ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe und würde mich sehr über eure Hilfe freuen.

Untersuchen Sie, ob folgendes Polynom in ℚ[x] reduzibel oder irreduzibel ist: x4-4x3+6x2-4x+4

Ansatz:

p(x) =x4-4x3+6x2-4x+4

ich substituier das ganze mit

p(x-1) = x4-8x3+24x2-32x+19

nun würde ich mit Eisenstein fortfahren, also ich bestimme ein q=2, laut Eisenstein darf der erste Koeffizient nicht durch q teilbar sein und der letzte Koeffizient nicht durch q2 teilbar sein, der 2-4 Koeffizient ist durch q teilbar. Bzw. (Wir wenden Eisenstein an mit der Primzahl q=2. So sehen wir, dass p(x-1) = x4-8x3+24x2-32x+19 irreduzibel ist in ℚ[x], also auch in p(x)?

von

x4-4x3+6x2-4x+4 hat nur komplexe Nullstellen, ist als im Reellen nicht zerlegbar.

Genau, aber ist mein Lösungsvorschlag auch möglich?

Ich kenne Eisenstein nicht.

Das Absolutglied muss durch q teilbar sein! 19 ist nicht durch 2 teilbar. Schau dir stattdessen p(x+1) an, da kannst du Eisenstein drauf anwenden.

hat nur komplexe Nullstellen, ist als im Reellen nicht zerlegbar.

Das ist kein Argument.

x^4+3x^2+2 hat auch nur (echt) komplexe Nullstellen, ist aber reduzibel...

dann habe ich p(x+1) = x4+3, bestimme eine primzahl q=3, laut Eisenstein ist somit das Polynom irreduzibel?

Ja, das ist richtig.

Ein anderes Problem?

Stell deine Frage

Willkommen bei der Mathelounge! Stell deine Frage einfach und kostenlos

x
Made by a lovely community