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Aufgabe:

Wie verwende ich das Gauss-Verfahren bei den folgenden Aufgabe?


Problem/Ansatz:

Mahlzeit alle beisammen. Ich habe ein Problem mit den linearen Gleichungssystemen und vor allem mit den Parametern. Die folgenden drei Aufgaben bereiten mir seit Stunden Kopfschmerzen. In den Anleitungen/Tutorials wurde das Gauss-Verfahren erklärt und auch das rechnen mit Parametern, jedoch an einem Beispiel, welches noch ein x3 beinhaltet und nicht 3 verschiedene Zeilen. Ich steige bei diesen drei Aufgaben leider gar nicht durch.


Ich habe auch schon nach einem Online-Taschenrechner gesucht der mir dazu den passenden Rechenweg ausgibt, jedoch habe ich keinen gefunden, der dieses Format entgegen nimmt.


Wär jemand so freundlich mir diese drei Aufgaben auszurechnen und den Rechenweg vorzustellen, damit ich Erkenntnisse daraus ziehen kann?


Mein Bisheriger Ansatz für die erste Aufgabe:

Römisch 1 durch -2 teilen, römisch 1 zu römisch 2 hinzuaddieren dadruch erhalte ich -x2 = 1,6923. Das Ergebnis dieses Gleichungssystems soll aber kein Ergebnis sein.

Die korrekten Ergebnisse ohne Rechenweg hänge ich unten an die Aufgabe dran.

Aufgaben

blob.png

Ergebnisse:

blob.png

Text erkannt:

\( 2 x_{1} \quad+3 x_{2}=0 \)
\( x_{1} \quad-5 x_{2}=11 \)
\( x_{1} \quad-x_{2}=3 \)
\( L=\{\} \)
\( 2 x_{1} \quad+3 x_{2}=6 \)
\( -6 x_{1} \quad-9 x_{2}=-18 \)
\( 6 x_{1} \quad+9 x_{2}=18 \)
\( L=\left\{\frac{6-3 t}{2} ; t|t \in \mathbb{R}|\right\} \)
\( 2 x_{1} \quad-7 x_{2}=9 \)
\( 11 x_{1} \quad+5 x_{2}=6 \)
\( 3 x_{1} \quad-7 x_{2}=10 \)
\( L=\{1 ;-1\} \)


Text erkannt:

\( \begin{array}{lll}2 x_{1} & +3 x_{2} & =0 \\ x_{1} & -5 x_{2} & =11 \\ x_{1} & -x_{2} & =3 \\ & & \\ 2 x_{1} & +3 x_{2} & =6 \\ -6 x_{1} & -9 x_{2} & =-18 \\ 6 x_{1} & +9 x_{2} & =18 \\ & & \\ & & \\ 2 x_{1} & -7 x_{2} & =9 \\ 11 x_{1} & +5 x_{2} & =6 \\ 3 x_{1} & -7 x_{2} & =10\end{array} \)

von

1 Antwort

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Beste Antwort

Aloha Ragyou ;)

Willkommen in der Mathelounge...

Ich fürchte, du hast bisher noch keine Antwort bekommen, weil die Beantwortung aller 3 Fragen recht aufwändig ist. Damit du eine Idee bekommst, wie man mit dem Gauß-Verfahren arbeitet, schreibe ich dir die Schritte einzeln auf. Ziel ist es immer, so viele Spalten wie möglich zu erzeugen, die genau eine \(1\) und sonst nur \(0\) enthalten.

a) Das erste Beispiel ist ein sog. "überbestimmtes Gleichungssystem", das heißt, wir haben mehr Gleichungen als Variablen. Hier erwarten wir, dass die beiden Variablen zwei der drei Gleichungen erfüllen, aber die dritte nicht. Manchmal hängen die Gleichungen eines überbestimmten Systems aber voneinander ab, sodass mindestens eine wegfällt. Beim Gauß-Verfahren erkennt man das daran, dass Zeilen entstehen, die ausschließlich \(0\) enthalten. Schauen wir mal, wie es hier ist.

$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & 3 & 0 & -2\cdot\text{Zeile 3}\\1 & -5 & 11 & -\text{Zeile 3}\\1 & -1 & 3 &\\\hline0 & 5 & -6 & \\0 & -4 & 8 & :(-4)\\1 & -1 & 3 &\\\hline0 & 5 & -6 & -5\cdot\text{Zeile 2}\\0 & 1 & -2 & \\1 & -1 & 3 & +\text{Zeile 2}\\\hline0 & 0 & 4 &\\0 & 1 & -2 & \\1 & 0 & 1 &\\\hline\hline\end{array}$$

Jetzt siehst du das Problem. Die letzte Zeile sagt uns \(x_1=1\), die mittlere Zeile sagt uns \(x_2=-2\). Das Problem ist die erste Zeile, sie lautet als Formel geschrieben:$$0\cdot x_1+0\cdot x_2=4$$Auf der linken Seite kommt \(0\) heraus, egal was wir für \(x_1\) oder \(x_2\) einsetzen. Daher ist diese Gleichung immer falsch und das LGS hat keine Lösung:

b) Das zweite Beispiel sieht auf den ersten Blick auch wieder überbestimmt aus. Drei Gleichungen für zwei Unbekannte. Auf den zweiten Blick erkennen wir aber, dass die zweite und die dritte Gleichung sich nur in den Vorzeichen unterscheiden, also äquivalent sind. Wir erwarten also mindestens eine Nullzeile bei unseren Gauß-Umformungen:

$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & 3 & 6 & \\-6 & -9 & -18 & +3\cdot\text{Zeile 2} \\6 & 9 & 18 & -3\cdot\text{Zeile 2}\\\hline2 & 3 & 6 & \\0 & 0 & 0 & \\0 & 0 & 0 & \\\hline\hline\end{array}$$

Wir haben offensichtlich sogar \(2\) äquivalente Gleichungen gehabt. Die beiden Nullzeilen sind immer eine wahre Gleichung, denn \(0x_1+0x_2=0\) ist für alle \(x_1\) und \(x_2\) erfüllt. Wir haben nun aber nur noch eine Gleichung für zwei Unbekannte. Das heißt, wir können eine Variable völlig frei wählen, die andere ergibt sich dann aus der Gleichung. Das bedeutet, dass wir einen sog. "Freiheitsgrad" haben. Unsere Lösung ist daher eine Grade mit einer Dimension. Die Gleichung lautet:$$2x_1+3x_2=6\quad\Leftrightarrow\quad 2x_1=6-3x_2\quad\Leftrightarrow\quad x_1=3-\frac{3}{2}x_2$$Die Lösungen sind also

$$\binom{x_1}{x_2}=\binom{3-\frac{3}{2}x_2}{x_2}=\binom{3}{0}+x_2\binom{-\frac{3}{2}}{1}$$

Das entspricht deiner Musterlösung, wenn du \(t\coloneqq x_2\) setzt.

c) Wir hetten jetzt den Fall a) mit keiner Lösung, den Fall b) mit unendlich vielen Lösungen, also fehlt uns noch der Fall mit genau einer Lösung. Das wird vermutlich dieser hier sein:

$$\begin{array}{rrr|l}x_1 & x_2 & = & \text{Aktion}\\\hline2 & -7 & 9 & \\11 & 5 & 6 & \\3 & -7 & 10 & -\text{Zeile 1}\\\hline2 & -7 & 9 & -2\cdot\text{Zeile 3} \\11 & 5 & 6 & -11\cdot\text{Zeile 3}\\1 & 0 & 1 &\\\hline0 & -7 & 7 & :(-7) \\0 & 5 & -5 & :5\cdot\text{Zeile 3}\\1 & 0 & 1 &\\\hline0 & 1 & -1 & \\0 & 1 & -1 & \\1 & 0 & 1 &\\\hline\hline\end{array}$$Die ersten beiden Gleichungen sind identisch. Wir erhalten eine endeutige Lösung:$$x_1=1\quad;\quad x_2=-1$$

von 57 k 🚀

Vielen Dank! Ich weiß die Mühe sehr zu schätzen. Ich habe zwar auch die elementare Zeilenumformung angewandt, jedoch habe ich vorab noch nie etwas von überbestimmten Gleichungssystemen gehört. :)


Außerdem konnte ich daraus die Informationen ziehen, die mir bisher gefehlt haben. Ich wusste einfach nicht mit den zwei Unbekannten umzugehen, da ich es bisher immer mit drei verschiedenen Unbekannten zutun hatte.

Aber wieso kann ich nicht damit anfangen die erste Zeile auf x1 zu bringen, indem ich durch 2 teile und ziehe das von den beiden Gleichungen ab? Dann kommt bei Zeile 2 schon 2 1/3 raus.


Bei der zweiten Aufgabe lässt du den Parameter "t" weg ist das richtig? Ich schätze mal sinngemäß hast du ihn genutzt und nur nicht aufgeschrieben.

Das Ziel muss es immer sein, so viele Spalten wie möglich zu erzeugen, die genau eine "1" und sonst nur "0" enthalten. Der Weg dahin ist natürlich nicht eindeutig. Du hättest auch in der ersten Zeile durch \(2\) dividieren können, aber dann darfst du ab da mit Brüchen weiterrechnen. So etwas versuche ich immer zu vermeiden, weil das ja noch mehr Tipparbeit ist.

Den Parameter \(t\) habe ich nicht weggelassen. Wie du an meiner Lösung siehst, wird er eigentlich gar nicht benötigt. \(t\) ist nichts anderes als die \(x_2\)-Koordinate. Wenn dein Lehrer stattdessen \(t\) schreibt, vernichtet er sozusagen Information. Trotzdem ist die Lösung mit \(t\) nicht falsch, denn da \(x_2\) alle Werte aus \(\mathbb R\) annehmen kann, gilt dasselbe natürlich für \(t\).

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