Question

Es sei \( V \) ein \( n \) -dimensionaler Vektorraum. Kreuzen sie alle richtigen Aussagen an.

Antworten:

1. Es gibt genau eine alternierende Multilinearform mit \( n \) Argumenten auf \( V^{n} \)

2. Wenn \( f, g \) zwei verschiedene alternierende Multilinearformen auf \( V \) sind, so gibt es ein \( c \in K \) aus dem Grundkörper von \( V \), so dass \( f=c g \) gilt.

3. Wir definieren eine Abbildung \( f: \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R} \) durch \( f(v)=\operatorname{det}(v, v, v, \ldots, v) \). Diese Abbildung ist linear.

4. Beim Gaußverfahren ändert die Determinante einer Matrix nur ihren Betrag, aber nicht ihr Vorzeichen.

5. Die Determinante ist linear, d.h. es gilt für zwei Matrizen \( a, b \in \mathbb{R}^{n \times n}, \alpha, \beta \in \mathbb{R} \) die Formel \( \operatorname{det}(\alpha a+\beta b)=\alpha \operatorname{det}(a)+\beta \operatorname{det}(b) \)

Answer 1

1. Ist falsch, da jedes Vielfache ebenfalls eine alternierende Multilinearform ist.

2. Ist richtig, da der Raum der alternierenden Multilinearformen eindimensional ist,

wie man mit dem äußeren Produkt zeigen kann.

3. Für n=1 ist das die identische Abbildung, für n>1 ist

es die Nullabbildung, also ist f linear.

4. Falsch, da bei Zeilentausch das Vorzeichen gewechselt wird,

ferner kann sich der Absolutbetrag sehr wohl ändern.

5. Falsch: sei n=2 und α=2 und A die Einheitsmatrix, B=0.