Basis von Vektoren in Abhängigkeit von einer Variable berechnen

Question

Für welche $$a \in \mathbb{R}$$ bilden die Vektoren $$\mathcal{B}(a) = \{(a, 0, 1), (0, 2a, -1), (1, 2, 0)\}$$ eine Basis für den Raum $$\mathbb{R}^3$$?

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

Damit die 3 Vektoren eine Basis des \(\mathbb R^3\) bilden, müssen sie ein 3-dimensionales Volumen aufspannen. Über die Größe dieses Volumens gibt die Determinante Auskunft. Falls die Determinante null ist, liegen die 3 Vektoren in einer Ebene oder auf einere Geraden, sind daher linear abhängig und damit keine Basis. Wir bestimmen also die Determinante:

$$D=\left|\begin{array}{rrr}a & 0 & 1\\0 & 2a & -1\\1 & 2 & 0\end{array}\right|\stackrel{(1)}{=}\left|\begin{array}{rrr}a & 0 & 1\\a & 2a & 0\\1 & 2 & 0\end{array}\right|=a\cdot2-1\cdot2a=2a-2a=0$$

Die Determinante ist immer \(=0\), also bilden die drei Vektoren für kein \(a\in\mathbb R\) eine Basis des \(\mathbb R^3\).

[In Schirtt (1) habe ich die erste Zeile zur zweiten Zeile addiert. Anschließend habe ich die Determinante nach der letzten Spalte entwickelt.]

Comments

Ich glaube dir zwar, dass das alles so stimmt, aber wir haben bisher nicht mit Determinanten gearbeitet, und sollen diese Aufgabe also anders lösen können. Kannst du mir da auch weiterhelfen?

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Oha, ja du kannst das auch ander zeigen.

Für \(a=0\) lauten die 3 Vektoren:$$\vec b_1=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\;;\;\vec b_2=\begin{pmatrix}0\\0\\-1\end{pmatrix}\;;\;\vec b_3=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$$Man sieht sofort, dass \(\vec b_1\) und \(\vec b_2\) linear abhängig sind, denn \(\vec b_1=-\vec b_2\).

Für \(a\ne0\) lauten die 3 Vektoren:$$\vec b_1=\begin{pmatrix}a\\0\\1\end{pmatrix}\;;\;\vec b_2=\begin{pmatrix}0\\2a\\-1\end{pmatrix}\;;\;\vec b_3=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$$Hier gilt:

$$\frac{1}{a}\begin{pmatrix}a\\0\\1\end{pmatrix}+\frac{1}{a}\begin{pmatrix}0\\2a\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\0\\1/a\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}0\\2\\-1/a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\2\\0\end{pmatrix}$$Damit ist \(\frac{1}{a}\vec b_1+\frac{1}{a}\vec b_2=\vec b_3\). Also sind auch für diesen Fall die 3 Vektoren linear abhängig.

Drei linear abhängige Vektoren liegen in einer Ebene oder auf einer Geraden, können also keinen 3-dimensionalen Raum aufspannen.