Sei K ein Korper, und sei f Element von K{X}

Question

(1) Sei \( \mathrm{K} \) ein Körper, und sei \( \mathrm{f} \in \mathrm{K}[\mathrm{X}] \) mit \( \operatorname{grad}(\mathrm{f})=2 \) oder \( \operatorname{grad}(\mathrm{f})=3 \). Beweisen Sie, dass \( \mathrm{f} \) genau dann irreduzibel in \( \mathrm{K}[\mathrm{X}] \) ist, wenn \( \mathrm{f} \) keine Nullstelle in \( \mathrm{K} \) besitzt.

(2) Geben Sie konkret ein Polynom \( \mathrm{f} \in \mathbb{K}[\mathrm{X}] \) vom Grad 4 an, das zwar keine Nullstelle in \( \mathbb{R} \) besitzt, aber dennoch nicht irreduzibel in \( \mathbb{K}[\mathrm{X}] \) ist.

Answer 1

1) f hat keine Nullstelle sonst gäbe es einen linearen Teiler. Wäre f irreduzibel so gibt es eine Zerlegung von f der Form Pol. vom Grad 1*Pol. vom Grad 1 bzw. 2., also hätte f eine Nullstelle 2)(X²+1)²