Berechnung von 1/x+1 mit Hilfe des Diff.-quotienten (h-Methode)

Question

Aufgabe:

Ich versuche die Ableitung von 1/(x+1) mit Hilfe des Differentialquotienten (h-Methode) zu berechnen, bleibe aber hängen bei

Problem/Ansatz:

((1/x0+h+1)-(1/x0+1))/h…

Answer 1

Zunächst mal heben sich in

(...+1) - (...+1) die beiden Einsen durch die Subtraktion auf, sodass du nur noch im Zähler

$\frac{1}{x_0+h}$ -$\frac{1}{x_0}$ hast.

Bilde die Differenz dieser Brüche, nachdem du sie durch geeignetes Erweitern gleichschenklig gemacht hast. Was erhältst du?

Answer 2

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge...

$$\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\frac{\frac{1}{(x+h)+1}-\frac{1}{x+1}}{h}=\frac{\frac{1\cdot (x+1)}{((x+h)+1)\cdot (x+1)}-\frac{1\cdot(x+h+1)}{(x+1)\cdot(x+h+1)}}{h}=\frac{\frac{(x+1)-(x+h+1)}{((x+h)+1)\cdot (x+1)}}{h}$$$$=\frac{1}{h}\cdot\frac{(x+1)-(x+h+1)}{((x+h)+1)\cdot (x+1)}=\frac{1}{h}\cdot\frac{-h}{((x+h)+1)\cdot (x+1)}=\frac{-1}{((x+h)+1)\cdot (x+1)}$$

Jetzt können wir den Grenzwert bilden, weil nicht mehr durch $h$ dividiert wird:

$$f'(x)=\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}=\lim\limits_{h\to0}\frac{-1}{((x+h)+1)\cdot (x+1)}=-\frac{1}{(x+1)^2}$$

Comments

Vielen Dank für diese Superlösung. Der "trick" besteht wohl darin, einen Hauptnenner zu bilden.

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Du musst immer versuchen, das $h$ im Nenner irgendwie loszuwerden. Das geht am einfachsten durchs Kürzen. Weil ich eine Differenz von Brüchen aber nicht kürzen kann, habe ich beide Brüche auf den Hauptnenner gebracht und dann zu einem Bruch addiert. Dann blieb im Zähler das $h$ übrig, das ich zum Kürzen gebracht habe ;)

Answer 3

(1/x0+h+1)-(1/x0+1))/h
vor allen Dingen solltest einmal vernünftig klammern

( Nur den Zähler )

( 1 / (x0+h+1) - ( 1 / (x0+1) )

( ( x0 + 1 ) / [ (x0+h+1) * (x0+1) ] -
( x0+h+1) / [ (x0+h+1) * (x0+1) ]

[ ( x0 + 1 ) - ( x0+h+1) ] /
[ (x0+h+1) * (x0+1) ]

- h / [ (x0+h+1) * (x0+1) ]

( mit / h )
- h / [ (x0+h+1) * (x0+1) ]  / h

-1 / [ (x0+h+1) * (x0+1) ]
lim h -> 0
-1 / [ (x0+1) * (x0+1) ]

-1 / ( x0 + 1 ) ²

Comments

Wenn du es schon nicht ertragen kannst, dass ich eine Antwort gebe, die den Fragesteller zum Mitmachen auffordert:

Warum schickst du der sauber geschriebenen und gut lesbaren Lösung von Tschaka deinen ... na ja ... unbeholfenen Aufschrieb hinterher?