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Aufgabe:

Sei e=exp(1) die Eulersche Zahl. Zeigen Sie..

Problem/Ansatz:

Ich habe bei der Aufgabe bisher leider noch keinen richtigen Ansatz könnte mir jemand helfen?D5D723E4-A804-4E58-AD39-C510783C8036.jpeg

Text erkannt:

(b) Sei e=exp(1) e=\exp (1) die Eulersche Zahl. Zeigen Sie nacheinander:
(i) exp(nx)=exp(x)n \exp (n x)=\exp (x)^{n} für alle nN n \in \mathbb{N} und alle xR. x \in \mathbb{R} .
(ii) exp(mx)=exp(x)m \exp (m x)=\exp (x)^{m} für alle mZ m \in \mathbb{Z} und alle xR x \in \mathbb{R} .
(iii) exp(1n)=e1n=en \exp \left(\frac{1}{n}\right)=e^{\frac{1}{n}}=\sqrt[n]{e} für alle nN n \in \mathbb{N}
(iv) exp(r)=er \exp (r)=e^{r} für alle \( r \in \mathbb{

blob.jpeg

Text erkannt:

4. Exponenfial funlubion \& trifono metrisde tunletionen Def.4.l: 1ie tunletionen exp: Rh \mathrm{R} \rightarrow \mathrm{h}
Es gilt exp(0)=1 \exp (0)=1 wed do werr e : =exp(1)=u=01k! e:=\exp (1)=\sum \limits_{u=0}^{\infty} \frac{1}{k !}
urt e=2.71828 e=2.71828 \ldots luist Eulssole zall.
Sat 4.2: Es silt
(a) z,ωC : lnp(z+ω)=exp(z)exp(ω) \forall z, \omega \in \mathbb{C}: \ln p(z+\omega)=\exp (z) \exp (\omega)
(Funk fionalgleichung vou exp)
(b) zC : exp(z)0 \forall z \in \mathbb{C}: \exp (z) \neq 0 wed exp (z)=1exp(z) (-z)=\frac{1}{\exp (z)} ,
(c) zC : cxp(zˉ)=exp(z) \forall z \in \mathbb{C}: \operatorname{cxp}(\bar{z})=\operatorname{exp(z)} ,
(d)xk : exp(ix)=1 (d) \forall x \in \mathbb{k}:|\exp (i x)|=1

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Wie habt ihr exp(x) definiert?

Stimmt,das habe ich ganz vergessen. Stelle ich bei der Aufgaben mit rein.

Ist das Bild nun zu sehen ?

Also bei (i) verwendest du einfach n*x = x + ... + x (n-mal) und Satz 4.2 (a)

Für (ii) musst du a) und 4.2 b) verwenden

Für (iii) musst du etwas "tricksen":

exp(1)=exp(n1n)=exp(1n)n    ... \exp( 1 ) = \exp( n \cdot \frac 1 n) = \exp(\frac 1 n)^n \implies ...

und für (iv) musst du jetzt nur r=m/n mit m in Z und n in N wählen, dann ist

exp(mn)=exp(m1n)=... \exp( \frac m n) = \exp(m \cdot \frac 1 n) = ...

und da dann halt b) und c) drauf anwenden.

Ich glaube ich habe es jetzt verstanden,Dankeschön für die Mühe !

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