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Zeigen Sie, dass sich die Funktion f(x)=(x-4)/(x^2-2x) in der Form f(x)=(A/x)+(B/x-2) darstellen lässt.

Trotz des Hinweises (Bringen Sie die Terme auf den gleichen Nenner und vergleichen Sie
dann die Koeffizienten im Zähler)  komme ich hier nicht weiter.

Für Tipps wäre ich sehr dankbar.

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Aloha JoTTI ;)

Willkommen in der Mathelounge...

Am besten zeigen wir, dass es eine solche Darstellung gibt, indem wir sie berechnen. Die Technik nennt sich Partialbruchzerlegeung, fallst du selbst nachlesen möchtest.$$f(x)=\frac{x-4}{x^2-2x}=\frac{x-4}{x\cdot(x-2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x-2}$$Der Nenner von \(A\) wird zu null für \(x=0\). Der Nenner von \(B\) wird zu null für \(x=2\).

$$A=\left.\frac{x-4}{\cancel{x}\cdot(x-2)}\right|_{x=0}=\frac{0-4}{0-2}=\frac{-4}{-2}=2$$$$B=\left.\frac{x-4}{x\cdot\cancel{(x-2)}}\right|_{x=2}=\frac{2-4}{2}=\frac{-2}{2}=-1$$

Damit haben wir die Zerlegung gefunden:$$f(x)=\frac{x-4}{x^2-2x}=\frac{2}{x}-\frac{1}{x-2}$$

Avatar von 148 k 🚀
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Es wäre schön, wenn du deinen Ansatz mal formuliert hättest. Oder hast du überhaupt keinen Ansatz?

Wie lautet der Hauptnenner? Nach dem Gleichnamigmachen könntest du addieren oder nicht?

Also deine Zähler müssten so aussehen (den Hauptnenner brauchen wir nicht weiter zu betrachten):

     x - 4 = A (x-2) + Bx

     x - 4 = Ax -2A + Bx

     1x - 4 = x (A+B)x - 2A

Jetzt machen wir einen Koeffizientenvergleich, also:

    1 = A +B      und - 4 = - 2A     Daraus ergibt sich: A = 2      und   B = - 1

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