Folgen Konvergenz Beweis

Question

Beweisen Sie gemäß Definition:
Wenn die Folge \( \left(a_{n}\right)_{n \in \mathbb{N}} \) mit \( a_{n} \in \mathbb{R}_{>0} \) gegen \( a \in \mathbb{R}_{>0} \) konvergiert, dann konvergiert \( \left(\sqrt{a_{n}}\right)_{n \in \mathbb{N}} \)
gegen \( \sqrt{a} \).

Wie kann man aus dem einen auf das andere folgern?

Answer 1

Du darfst ja nur die Definition benutzen, also um zu zeigen

dass √a_n gegen √a geht musst du zeigen:

Zu jedem ε>0 gibt es ein N mit n>N ==>  | √a_n -√a | <ε

Sei also ε>0.  Wegen an → a weißt du: Es gibt ein N mit | a_n - a | <ε. #

Nun gilt ja nach der 3. binomi. Formel

| an - a | =  | (√an -√a)* (√an +√a )  | =| √an -√a| *  | √an +√a  |

und damit bekommst du aus | an - a | <ε

            | √an -√a| *  | √an +√a | <ε

       <=>       | √an -√a| <ε  / *  | √an +√a |.

Wenn du bei # also mit  ε ' = ε  / *  | √an +√a | (Das ist ja auch > 0 ] beginnst,

hast du ein N , das die Forderung   | √an -√a | <ε  erfüllt.

Damit alles sauber ist, musst du noch was argumentieren,

dass die Wurzeln auch bei hinreichend kleinem Epsilon alle

definiert sind etc.