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Aufgabe:

Ist \( I=(a, b) \) ein echtes Intervall, \( f: I \rightarrow \mathbb{R} \) differenzierbar mit stetiger Ableitung und gilt für ein \( x_{0} \in(a, b) \) \(f^{\prime}\left(x_{0}\right) \neq 0\) so ist \( f \) in einer Umgebung von \( x_{0} \) invertierbar, d.h., es existiert ein offenes Intervall \( U \) mit \( x_{0} \in U \subset I \) derart, dass \( \left.f\right|_{U}: U \rightarrow f(U) \) invertierbar ist.


Problem/Ansatz:

Könnte mir bitte jemand helfen, wie ich dieses Satz beweisen kann?

Vielen Dank im Voraus!

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Beste Antwort

f '(xo) ≠ 0 und  f ' stetig

==> Es gibt (je nach Vorzeichen von f ' (xo) ) eine Umgebung U um xo

mit f ' (x)   positiv ( oder ggf. negativ ) für alle x∈U.

==>  f ist über U streng monoton steigend ( oder eben fallend)

und somit die Einschränkung f|U umkehrbar.

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