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a.). f(x) = 1/2x^2-x-4

b.). f(x) = 3/4x^3 - 6/5x^2

c.).  f(x) = 2x^3 - 3x^2+1
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a) f(x) = 1/2x2 - x - 4

Eine Nullstelle darf geraten werden (man könnte natürlich mit 2 multiplizieren und direkt die pq-Formel anwenden):

Ich "rate" mit Hilfe eines Funktionsplotters x1 = 4

:-D

1/2 * 16 - 4 - 4 = 8 - 4 - 4 = 0 | passt

Polynomdivision:

(1/2 * x2 - x - 4) : (x - 4) = 1/2 * x + 1

1/2 * x2 - 2x

-----------------

             x - 4

            x - 4

           ---------

                 0

 

Die Funktion lässt sich also schreiben als

f(x) = (x - 4) * (1/2 * x + 1)

Ein Produkt wird dann = 0, wenn mindestens einer der Faktoren = 0 ist.

x1 = 4

1/2 * x + 1 = 0

1/2 * x = -1

x = -2

x2 = -2

 

b) f(x) = 3/4x3 - 6/5x2

Hier kann man x2 ausklammern:

x2 * (3/4 * x - 6/5) = 0

x1 = 0 | Doppelte Nullstelle

3/4 * x - 6/5 = 0

3/4 * x = 6/5 | * 4 / 3

x2 = 8/5 = 1,6

 

c) f(x) = 2x3 - 3x2 + 1

Erste Nullstelle geraten:

x1 = 1

Polynomdivision:

(2x3 - 3x2 + 1) : (x - 1) = 2x2 - x - 1

2x3 - 2x2

------------

        -x2 + 1

        -x2 + x

      -------------

             -x + 1

             -x + 1

            ----------

                 0

 

2x2 - x - 1 = 0 | :2

x2 - 1/2 * x - 1/2 = 0

pq-Formel

x2,3 = 1/4 ± √(1/16 + 8/16) = 1/4 ± 3/4

x2 = 1

x3 = -1/2

Die 1 hatten wir schon oben als Nullstelle gefunden, also haben wir

x1 = 1 | Doppelte Nullstelle

x2 = -1/2

 

Besten Gruß

Avatar von 32 k
Bei a) "darf" geraten werden :D.
@Unknown:

Ich verstehe meine Blindheit manchmal wirklich nicht - liegt es am jugendlichen Überschwang - lol - oder an der späten Stunde?

:-D

Danke für Deine Aufmerksamkeit - gibt einen dicken Daumen von mir :-)
Für den Hinweis, oder dass ich nur zwei Zeilen gebraucht habe? :D


Danke und gerne ;)
Stimmt :-)

Habe aber nur einen Daumen zu vergeben :-D
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Hi,

a) 1/2x2-x-4 = 0  |*2

x^2-2x-8 = 0      |pq-Formel

x1 = -2 und x2 = 4

 

b) 3/4x^3-6/5x^2 = 0

x^2(3/4x-6/5) = 0

x1,2 = 0 und 3/4x-6/5 = 0

3/4x = 6/5

x3 = 1,6

 

c)

2x^3-3x^2+1 = 0      |Polynomdivision mit (x-1)

Also x1 = 1

(2x^3  - 3x^2       + 1) : (x - 1)  =  2x^2 - x - 1  
-(2x^3  - 2x^2)         
 ———————
        - x^2       + 1
      -(- x^2  + x)    
        —————
               - x  + 1
             -(- x  + 1)
               ———
                      0

2x^2-x-1 = 0   |:2

x^2-1/2x-1/2 = 0   |pq-Formel

x2 = -1/2

x3 = 1

 

Grüße

Avatar von 140 k 🚀
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  Ich beschränke mich hier auf Beispiel c) weil ich Gelegenheit nehme, wieder so einen herrlichen Tobsuchtsanfall " zu Computer zu bringen " Von Wegen Mathematik und Emotion hätten nichts mit einander zu tun -  die Utopie eines ===> Mr. Spock ist längst widerlegt  ; Antonio und Margarete ===> Damasio ; ===> Amygdala .

   Die gefühlsblinden ( Schüler; Probanden  ) glauben unbesehen alles, was der ( Lehrer ; Versuchsleiter ) orakelt. Das genau ist doch das Versuchsergebnis. Schau mal, was Pappi alles weiß.


https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_%C3%BCber_rationale_Nullstellen


    Hier wer DAS liest und versteht und nicht wenigstens einen Schreck bekommt, ist nicht normal ( Oder vielleicht geht ihm auch nur Mathe tootal am Aasch vorbei. ) Es ist doch wohl nur dann möglich, den " Satz von der rationalen Nullstelle " ( SRN ) im späteren Leben wieder zu vergessen, wenn man dement ist. Hier kennste den; unter Ingenieuren sehr verbreitet

   " Wenn ich je vergessen sollte, was die Ableitung von e Hoch x ist, geb ich mir freiwillig die Kugel ... "

     Wie bei ===> DGL schon längst üblich, gehe ich in dein Polynom mit einem Ansatz rein. Für kubische Polynome stellt sich ganz typisch die Alternative: Entweder es ist prim, das ===> Minimalpolynom seiner Wurzeln. Oder es spaltet einen rationalen Linearfaktor ( RLF ) ab.


         x0  :=  p0  /  q0  €  |Q     (  1a  )


        Gesetzt den Fall,  ( 1a )  ist richtig. Ja dann verbleiben doch nur noch


         |  x0  |  =  1/2  v  |  x0  |  =  1      (  1b  )


       Mehr weiß effektiv niemand - außer mir natürlich. Warum der SRN entgegen der Behauptung von Wiki nicht von Gauß stammen kann; der Polemik erster Teil. Ich kannte den SRN  von dem Konkurrenzportal ===> Cosmiq her; doch. Der Lerneffekt bei denen ist höher wie hier; deshalb bin ich dort ja auch gesperrt.  Etliche User bei denen sind selber Studienräte; in Kommentaren sprach ich diese auf den SRN an. Wenn ich nicht glattweg ignoriert wurde, wurde ich mit ironischen Platitüden abgefertigt. Von Vorn herein war klar, dass der SRN für den Pauker ein neu erworbenes Wissen darstellte ( Ich dachte immer, Gauß ist Kult. ) Es war auch kein Lehrer bereit, dieses mein Wissen an die anderen User geschweige die eigene Klasse weiter zu geben.

    Dass dieses Theorem ausgerechnet Gauß in die Schuhe geschoben wird, wusste ich damals überhaupt noch nicht. Umso rätselhafter, dass keiner dieser Studienräte Gelegenheit nahm, mich darauf zu verweisen ...

   Und dann war da dieser Mathestudent ( wieder bei Cosmiq ) Auf das Äußerste verwundert sei sein Assistent ob des SRN gewesen ... Rätselhaft wirkt, dass Wiki ganz offensichtlich nicht in der Lage ist, Standard Algebrabücher wie ===> van der Waerden zu zitieren - da steht nämlich kein SRN drinne ...

    Was aber jener Gaußthese den ab-so-lu-ten Todesstoß versetzt. Ich bin ja nur das " Genie der zweiten Reihe " ; und aus dem Stand gelangen mir drei Entdeckungen unmittelbar nachdem mir der SRN bekannt wurde ( Physiker wie ich sind zwar nicht immer mit Genialität gesegnet; aber wir sind eben doch im Stande, aus genialen Entdeckungen schnell und rationell praktisch anwendbare Schlüsse zu ziehen. )

    Im Folgenden stelle ich zwei pq-Formeln vor. Sei f ( x ) € |Z [ x ] ein ===> primitives Polynom ( d.h.  ganzzahlig gekürzt )


   f  (  x  )  :=  b  (  n  )  x  ^  n  +  b  (  n  -  1  )  x  ^  (  n  -  1  )  +  . . .  +  b3  x  ³  +  b2  x  ²  +  b1  x  +  b0   (  2a  )


     Wir gehen davon aus, dass ( 2a )  vollständig zerfällt.


       x  (  i  )  :=  p  (  i  )  /  q  (  i  )   €  |Q      ;   i  =  1  ;  . . .  ;  n          (  2b  )   


       Die üblichen Annahmen; sämtliche Bruchdarstellungen der x ( i )  seien ausgekürzt; und Vielfachheiten zählen mit, so dass du effektiv immer auf genau n Wurzeln kommst. Dann nämlich erzwingt der Satz von Vieta eine extreme Verschärfung des SRN



             p1  p2  p3  . . .  p  (  n  )  =  b0  *  (  - 1  )  ^  n        (  2c  )

             q1  q2  q3  . . .  q  (  n  )  =  b  (   n  )               (  2d  )


    Und das Genie Gauß, der Entdecker des SRN , sollte die Bedeutung von ( 2cd ) nicht erkannt haben? Und in den 200 Jahren seither sollte das niemandem aufgefallen sein? Voll abwegig. Zumal wenn du den einfachsten Fall n = 2 betrachtest; quadratische Gleichungen. An unserer Schule fragten wir uns ernsthaft

   " Ist es auch heute noch möglich, dass so etwas Wichtiges wie Pi entdeckt wird, das Schüler also nicht nur dauernd brauchen, sondern auch verstehen? "

   Es liegt nicht am mangelnden guten Willen der Schüler; ihre Lehrer wissen nämlich nicht, in welchem Film dass sie sind ...

   Es ist ja amtlich. Gauß intressierte sich nicht für Teiler von Polynomen; in seinem Testament verfügte er - makaber genug - dass in seinen Grabstein der Sinus des 17-Ecks einzumeißeln sei.

    Gauß beschäftigte sich nämlich mit der ===> Kreisteilungsgleichung. Ich halte dafür, dass er von der Quadratur des Kreises träumte; er wollte berühmt werden. Spätere Dokumentenforscher wurden ja fündig; mit 17 Jahren hatte Gauß im Zusammenhang mit seinem geliebten 17-Eck die ===> komplexe Ebene entdeckt. Er hielt beides geheim, weil er " das Geschrei der Boioter " fürchtete.

      Das kennt man auch von modernen Zeitgenossen; in Wirklichkeit fürchtete er, seine Ergebnisse könnten Konkurrenten einen Hinweis geben; und sie schnappen ihm die schöne Quadratur des Kreises vor der Nase weg ...

   Unser Institutsdirektor ===> Walter Greiner war auch so. Zu seiner Sekretärin Keller

   " In 400 Jahren sind Sie genau so tot wie ich. Aber ich bin dann Welt berühmt ... "

    Also deine Gleichung ist primitiv; ich mache jetzt den kühnen Ansatz, dass sie vollständig zerfällt:


          f  (  x  )  :=  2  x  3  -  3  x  + 1        (  3a  )

        p1  p2  p3  =  -  b0  =  (  -  1  )           (  3b  )

       q1  q2  q3  =  b3  =  2        (  3c  )


     Jetzt müssen wir uns vorsehen, dass wir nicht mit den Vorzeichen ins Schleudern geraten; hier benötigen wir die ===> cartesische Vorzeichenregel  ( CV )  Die baut schon eine gewisse Hürde ein; es gibt durchaus Polynome, die rein von der CV her niemals vollständig zerfallen können. Die Signatur von ( 3a )


             x1  <  0  <  x2  <  =  x3      (  4  )


    Hier das gibt ein ganz neues systematisches Rategefühl. Raten tun wir x1  ;  rein kombinatorisch bleiben dann überhaupt nur noch zwei Alternativen offen. Diskriminante ist jeweils der Koeffizient a2 aus dem Satz von Vieta  ===> symmetrische Funktionen  Für Vieta benötigen wir allerdings die Normalform von  (  3a  )


          f  (  x  )  =  x  3  -  3/2  x  + 1/2        (  5a  )

         a2  =  -  (  x1  +  x2  +  x3  )               (  5b  )

       x1  =  (  -  1/2  )  ===>  x2;3  =  1  ;  a2  =  (  -  3/2  )            (  5c  )  ;  okay

      x1  =  (  -  1  )   ===> x2  =  1/2  ;  x3  =  1  ;  a2  =  (  -  1/2  )     (  5d  )

    ( max Zeichen )
Avatar von 1,2 k

  ( max Zeichen )

   Als hinreichend erweist sich allerdings erst der Vieta von a1


       a1  =  x1  (  x2  +  x3  )  +  x2  x3  =    (  2.1  )

             =  (  -  1/2  )  (  1  +  1  )  +  1  *  1  =  0   (  2.2  )     ;  okay

in 400 Jahren bin ich genauso tot wie Du - aber Du wirst dann noch immer im Sarg auf der Tastatur romanartige Abhandlungen einhacken ...

...   vielleicht ist hier Internet und keine Unibiliothek und die Leute wollen gar nicht so viel lesen und wissen, sondern einfach nur ihre Aufgaben erklärt bekommen ?

  Ehrlich gesagt bin ich schockiert, dass hier sowas wie das neue Mittelalter einkehrt. Wie ist es denkbar, dass ein Lehrsatz, der vielleicht vor drei Jahren anonym irfgendwo im Internet entdeckt wurde, heute Gauß in die Schuhe geschoben wird? Wieso ausgerechnet Gauß; wer hat ein Interesse an dem?

  

Sag selbst; löst etwa Gauß deine Aufgaben?

  Oder soll ich in Zukunft schreiben, dass dieses Theorem von Gauß sei, ist hanebüchener Mumpitz. Ich darf euch aber nicht sagen, warum ich das so sehe, weil mir irgendein  Schrat verboten hat, meine Gründe darzulegen?

   Es wäre alles gut, würde sich dieses Wiki nicht ausgerechnet auf den Namen Gauß versteifen.

   Und noch eins - ich geb mir Mühe; siehst ja. Aber in Cosmiq steht in der Guideline, wir machen keine Hausaufgaben. Zu Mindest dann nicht, wenn diese Aufgaben nicht über die bloße Wiederholung des Aufgabentextes hinaus gehen. Dagegen dieses Forum ist so schlecht, dass Studenten es missbrauchen, um ihren wörtlichen Aufgabentext rein zu stelen.

    Die erwarten dann, dass jemand so dumm ist, sich hin stellt und ihre Arbeit macht. Immer wieder lese ich

    " Möglichst ausführlich beantworten. "

    Die könnte  dann grad noch sagen

   " Bitte nur Antworten, von denen ich glaube, dass sie dem Prof gefallen. "

    Die Studentin " Moni " hat das bei Cosmiq anfänfglich explizit so gesagt ...

    Das Niveau hier ist übrigens ziemlich mäßig; hier kamen schon Verständnisfragen zur Einführungsvorlesung in Topologie. Hätt mich selbst intressiert - null Antworten.

   Sag ich doch; der einzige Depp bin ich. Lernen kannste hier überhaupüt nix ...

   Eben fällt's mir wieder ein.   Über mich wurde hier des Längeren und Breiteren getratscht. Nicht etwa, ob meine Lösungen richtig oder falsch, gut oder schlecht sind. Niemand unternahm es, mich über irgendwas zu belehren ( so wie weiland User Geejay bei Cosmiq ) Nein; ich würde die Leute " verwirren " , weil ich ihnen " etwas erzähle, was weder ein Lehrer weiß noch so im Buch steht "

    Aha; der voraus eilende Gehorsam von Schülern, die nicht begeifen, dass sie eben deshalb 5 stehen, weil sie zu einer unabhängigen Perspektive unfähig sind. Wenn ich doch weder das Buch noch den Lehrer verstehe. Wie will ich dann etwas begreifen, wenn ich darauf bestehe, dass mir alles wiederum so erklärt wird wie im Buch oder  beim Lehrer?

Vielleicht verstehst Du es so:

Wenn jemand auf dem Sch...haus sitzt und ruft verzweifelt nach draussen, weil das Klopapier alle ist, kommst Du und stellst Dich neben die Schüssel und erklärst einige Stunden über die Entwicklung des Papiers seit 5000 v. Chr. , unterlässt es auch nicht zu erwähnen, welche unterschiedlichen Herstellungstechniken zu welchen Zeitaltern auf welchen Kontinenten entwickelt wurden, erläuterst Details über sämtliche historischen Fundstätten und Inschriften einschliessch Benennung der Entdecker und deren Angehörigen bis einschliesslich fünf Generationen Vorfahren sowie Nachfahren, der heutigen Aufbewahrungsorte der Stücke mit Kurzbeschreibung der betreffenden Musseen, deren Entstehung und die Namen der Direktoren seit Gründung bis zum heutigen Tag. Ganz nebenbei führst du noch einen Exkurs über die Entwicklung der Schrift von den Hieroglyphen über die Phönizier bis zum griechischen und schliesslich dem lateinischen Alphabet aus. Nur um die Vollständigkeit der Ausführungen nicht zu vernachlässigen, vergleichst du noch kurz die Entwicklung der asiatischen Schriften in den letzten 8000 Jahren, wobei die markanten Unterschiede der Grammatiken der asiatischen Sprachen zu den indogermanischen nicht unerwähnt bleiben, um die Erklärung abzurunden.

Um nicht zu weit vom Thema abzukommen, erwähnst du noch die berühmte Bibilithek von Alexandria und beschreibst kurz die wenigen Tausend dort vermutlich gelagerten Schriften soweit rekonstruierbar mit einer kleinen Inhaltsangabe und einer Kurzbiograpie der historischen Persönlichkeit, welcher die Autorenschaft zugeschrieben wird. Von da aus ist es nur ein kleiner Schritt die Klosterbibliotheken des Mittelalters in ähnlicher Weise zu streifen, ohne jedoch die jeweiligen Umstände der Zeit in der Erläterung zu vernachlässigen.

Völlig entsetzt und höchst beleidigt reagierst du als im Morgengrauen des folgenden Tages der Unglückliche auf der Schüssel dich anschreit, weil ihn das ganze Gefasel einen Dreck interessiert und er nur seinen A... abwischen möchte und du ihm noch immer kein Papier gebracht hast.

Beleidigt lässt du ihn sitzen und gehst, weil er es verschmäht hat, deinen ohne Zweifel höchst interessanten Betrachtungen noch weiter zu folgen.

  Dein eigener Kommentar wurde ja auch schon ausgeschwärzt, wie sind hier die Landesbräuche unter den katolischen Pfarrerstöchtern? Werden wir jetzt beide gesperrt?

     Es lässt tief blicken, dass du die Versetzung von der analen in die genitale Phase immer noch nicht gepackt hast. Ich meine; ===> Mussolini erließ ein Gesetz, sämtliche italienischen Staatsbürger müssten sich ortografisch richtig schreiben ( Der Südtiroler " Franz Müller " = " Francesco Molinaro " Der zeitgenössische Witz hält dafür, " Hans Puff " gehe aufs Standesamt.

    " Habe Verständnis; aber bedaure. Auf Grund Führerbefehl 47 Abs. 11 sind Namensänderungen unzulässig. Sie wissen doch, was ein Führerbefehl  ist. "

    " Dann mache ich eben eine Urlaubsreise nach Italien; dort ist der Himmel blauer und die Menschen freier. Und jeder darf heißen, wie er will. "

         Nach sechs Wochen Sole mio kehrt Hans Puff heim. Er heißt jetzt " Giovanni Bordello " ...

    Ich kann es aber auch auf deinem Niveau wiederholen; denn Minderjährige wissen noch nicht, was " Puff " bedeutet. Es gab mal einen Herrn Prof. " Dessauer " , der mal eine Namensänderung beantragte. Jeden, der ihn mit obigem Namen ansprach, fauchte er wütend an, sein Name sei " Dessoir "

    ( Schon hier hat er eine Pointe verpasst; bei dem Namen denkt doch jeder an Dessous. )

     Erkundigt sich " Prof Dessoir "

     " Pardon Monsieur; wo befindet sich hier das Pissoir? "

     "  Hr. Dessoir; das Pissauer befindet sich im Souterrain ... "

     Wer im Glashaus sitzt, mein Lieber, sollte keinen blasen ...

     Pass du mal bloß auf, dass sie deinen " PleinDESPOIR "  nicht umbenamsen in " PleinPISSOIR "

    Ach übrigens; a propos. Da wir ja nun schon einen Link zwischen " Hoffnung " und " WC " aufgemacht haben; ich transponiere jetzt wieder auf die genitale Ebene:

    " What's the difference between a girl coming out of church and a girl coming out of the bathroom? "

   " A girl coming out of church has got a soul full of hope. And a girl coming out of the bathroom has got a hole full of soap. "

    Bist du zufällig personell identisch mit " Ikro " ? Das ist nämlich ein Mathelehrer, der auf ===> Cosmiq sein Unwesen treibt. Der " warnt " immer alle User vor mir, bis er eines Tages mal einen Kommentar erhielt

   " Was wollen Sie eigentlich von Godzilla? "

   Meine ersten Kommentare hatte der nämlich auch nur beantwortet mit Witzen des Inhalts, mehrere Passagiere schließen sich gemeinsam im Intercity auf dem WC ein - wobei mir die Pointe bis Heute unklar ist.

     Ich habe schließlich mehrere Entdeckungen gemacht bzw. verfüge über Kenntnisse, die man Standard mäßig nicht mal bei Studenten voraus setzen kann. In diesem Sinne entschloss ich mich, diese Dinge möglichst abstrakt einzuführen wie in den offiziellen Textbüchern üblich. Schuld bist alleine du, weil ich mich kein zweites Mal deinem Vorwurf aussetzen wollte, was ich hier bringe, sei keine Mathematik, sondern z.B. Kunst-oder Literaturgeschichte.

     Jeder Algoritmus wird immer durch ein Beispiel belegt;  mein Beispiel ist genau die geforderte aufgabe.

    Es gibt aber auch die impliziten Dinge im Leben, mein Lieber.

    Du gibst hier den Anwalt all jener Schüler, die da sagen - wie schon in Cosmiq geschehen

    "  Sag mal hältst du uns für Plem?  glaubst du wir raffen nicht, dass deine Vorschläge hundert Mal besser sind als das Gelump von unserem Lehrer?

    Aber wenn ich doch etwas benutze, was der nicht kennt - gar nicht kennen kann. Dann merkt der doch, dass ich meine Aufgaben im Internet abschreibe. "

    Nee du, Ich bin nicht der Befehlsempfänger von Schülern, die 5 stehen. Und die noch dazu so lebensunerfahren sind zu glauben, auch nur irgendjemand würde Zeit und Mühe darauf verschwenden, anderen ihren Mist hinterher zu räumen.

    Jetzt versuch dich doch mal an fachlicher Kritik; profiliere dich, statt hier bloß rumzumeckern.  Den SRN hat mir ja auch net der liebe Gott verraten, sondern das schrieb mir mal ein User auf Cosmiq. Wie wärs denn mit uns beiden? Hast du irgendwas auf der Platte, was ich noch nicht weiß?

1. Danke an Pleindespoir für die recht amüsanten Ausführungen.

2. Zitat von godzilla: "Pass du mal bloß auf, dass sie deinen " PleinDESPOIR "  nicht umbenamsen in " PleinPISSOIR "" -- womit wir beim Thema wären: https://www.mathelounge.de/237397/sperrung-von-mitglied-godzilla -- denn dies ist eindeutig eine Beleidigung und verstößt gegen die Grundsätze dieses Forums. 

3. Das Ziel des Forums war und ist, Schülern und Studenten zu helfen und sie nicht mit unnötig verwirrenden Texten zu überschütten. Vgl. sehr gute bis geniale Antworten von Der_Mathecoach, Unknown, Lu, georgborn und anderen Top-Mitgliedern: https://www.mathelounge.de/users

4. Freundlichkeit und Sachlichkeit stehen an erster Stelle!

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