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Aufgabe:


Ich wolle kurz fragen, wie man zu der Aufgabe den Rechenweg aufstellt.

∑ (k = 1 bis ∞) ((1/3)k)

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Was sollst du denn berechnen? Die Summe divergiert. Sollst du zeigen, dass sie divergiert?

Genau, das ist es

Ich sage nur 1/(1-q).

:-)

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Beste Antwort

Aloha :)

Weil die einzelnen Summanden ak13ka_k\coloneqq \frac{1}{3}k keine Nullfolge bilden, divergiert die Reihe. Konkret gilt:

Snk=1n13k=13k=1nk=13n2+n2=n2+n6S_n\coloneqq\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{3}k=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n k=\frac{1}{3}\cdot\frac{n^2+n}{2}=\frac{n^2+n}{6}\to\infty

Nach Korrektur der Aufgabenstellung entpuppt sich das Problem als geometrische Reihe:Snk=1n(13)k=k=0n(13)k1=1(13)n+11131S_n\coloneqq\sum\limits_{k=1}^n\left(\frac{1}{3}\right)^k=\sum\limits_{k=0}^n\left(\frac{1}{3}\right)^k-1=\frac{1-\left(\frac{1}{3}\right)^{n+1}}{1-\frac{1}{3}}-1Der Grenzwert ist daher:S=11131=1231=321=12S_\infty=\frac{1}{1-\frac{1}{3}}-1=\frac{1}{\frac{2}{3}}-1=\frac{3}{2}-1=\frac{1}{2}

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Ich glaube du hast da etwas vertauscht. Es ist 1/3k

Ich glaube, dass der Grenzwert dann mit 1/3k 1 beträgt.

Ich glaube du hast da etwas vertauscht. Es ist 1/3^k

Zuerst stand es als Produkt da.

:-)

Ups, dann denke ich, dass es ein Tippfehler von mir aus war. Die 1 ist richtig, oder?

Schau mal bitte, ich habe meine Antwort entsprechend angepasst.

Woher kommt die -1

Die Summe startet bei k=1k=1, die Summenformel für die geometrische Reihe startet bei k=0k=0.k=0nqn=1qn+11q\sum\limits_{k=0}^nq^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}q0+k=1nqn=1qn+11qq^0+\sum\limits_{k=1}^nq^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}k=1nqn=1qn+11q1\sum\limits_{k=1}^nq^n=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}-1

Hätte man das auch weglassen können?

Wozu war das (1) da?

Snk=1n13k=13k=1nk=13n2+n2=n2+n6S_n\coloneqq\sum\limits_{k=1}^n\frac{1}{3}k=\frac{1}{3}\sum\limits_{k=1}^n k=\frac{1}{3}\cdot\frac{n^2+n}{2}=\frac{n^2+n}{6}\to\infty

Die Frage war zuerst falsch eingegeben worden. Die erste Antwort bezog sich auf die falsche Frage. Später wurde dir Frage korrigiert und ich habe meine Antowrt nochmal abgeändert.

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Summenwert = 1/3/(1-1/3) = 1/2

geometrische Reihe (s. wikipedia)

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a=k=1(13)ka= \sum\limits_{k=1}^{\infty}{(\frac{1}{3})^k} an=k=1n(13)ka_n= \sum\limits_{k=1}^{n}{(\frac{1}{3})^k} 13an=k=2n+1(13)k\frac{1}{3}a_n= \sum\limits_{k=2}^{n+1}{(\frac{1}{3})^k} 23an=an13an=13(13)n+1\frac{2}{3}a_n=a_n-\frac{1}{3}a_n=\frac{1}{3}-(\frac{1}{3})^{n+1}an=12(1(13)n)a_n=\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3})^{n})a=limn12(1(13)n)=12a=\lim\limits_{n\to\infty} \frac{1}{2}(1-(\frac{1}{3})^{n})= \frac{1}{2}

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