Das sogenannte Vektorprodukt oder Kreuzprodukt kann u.a. zur Berechnung des Normalenvektors einer Ebene verwendet werden. Es ist wie folgt definiert:
\( \left(\begin{array}{l} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{array}\right) \times\left(\begin{array}{l} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} a_{2} b_{3}-a_{3} b_{2} \\ a_{3} b_{1}-a_{1} b_{3} \\ a_{1} b_{2}-a_{2} b_{1} \end{array}\right) \)
Weisen Sie nach, dass für beliebige Vektoren \( \vec{u}, \vec{w} \in \mathbb{R}^{3} \) das Kreuzprodukt \( \vec{u} \times \vec{w} \) im Orthogonalkomplement \( U^{\perp} \) des Unterraums \( U=\operatorname{Lin}(\vec{u}, \vec{w}) \) liegt und zeigen Sie, dass \( \vec{u} \times \vec{w} \) genau dann der Nullvektor ist, wenn \( \operatorname{dim} U \leq 1 \).
