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Ich sitze vor der folgenden Aufgabe und komme nicht so recht weiter.

Aufgabe:
Es sind \( \vec{x} \), \( \vec{y} \) ∈ ℝ3 .

a) Seien \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \) linear abhängig. Dann gilt: \( \vec{x} \) x \( \vec{y} \) = \( \vec{0} \)

b) Seien \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \) linear unabhängig. Dann gilt: \( \vec{x} \) x \( \vec{y} \) ⊥ Span (\( \vec{x} \),\( \vec{y} \)).

c) Seien \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \) linear unabhängig. Dann gilt: \( \vec{x} \), \( \vec{y} \) und \( \vec{x} \) x \( \vec{y} \) sind positiv orientiert.

d) Seien \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \) linear unabhängig. Dann gilt: ||\( \vec{x} \) x \( \vec{y} \)|| ist der Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Ecken \( \vec{0} \), \( \vec{x} \), \( \vec{y} \) und \( \vec{x} \) + \( \vec{y} \).

Diese Punkte soll ich mathematisch, also ohne Zahlen, beweisen.


Problem/Ansatz:

Dieses sind meine Ansätze zu den Teilaufgaben:

a) Das Kreuzprodukt zweier Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) ist der Vektor \( \vec{c} \). Dessen Betrag ist ein Maß für den Flächeninhalt des Paralleogramms, welches die Vektoren \( \vec{a} \) und \( \vec{b} \) aufspannen. Wenn nun zwei Vektoren im ℝ3 linear abhängig sind, dann sind sie parallel zueinander. Zwei parallele Vektoren können aber kein Parallelogramm aufspannen, somit ist der Flächeninhalt 0. Der Betrag des Nullvektors ist 0 und somit auch der Flächeninhalt.

b) Ich glaube, hier ist gemeint, dass die aufgespannte Ebene der Vektoren orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren ist.

c) Hier bin ich unsicher. Die Orientierung hat mit der Basis eines Vektors zu tun. Das ist leider ein Thema, mit dem ich noch gewisse Probleme habe.

d) Diese Aufgabe ist vergleichbar zur Aufgabe a), sie ist sozusagen das Gegenteil. Hier wird das Parallelogramm aufgespannt.

Wie Ihr seht, wirklich weit bin ich nicht gekommen. Vielleicht hat jemand von Euch einen Tipp bzw. einen Ansatzpunkt oder kann mich in die richtige Richtung schubsen. :-)
Ich habe mit mathematischen Beweisen ohne Zahlen leider immer Probleme, mit Zahlen ist es für mich immer anschaulicher, aber das ist hier ja leider nicht gefragt. Zusätzlich sind bestimmte Themen in Sachen Vektoren, vor allem bei b) und c), auch nicht so ganz anschaulich für mich.


Philippus

von

Hallo
wie genau habt ihr das Kreuzprodukt eingeführt?  in a)  und b) benutzt du was in d) als Behauptung steht? So kann es also nicht gemeint sein.
Es kommt also auf die Def. des Kreuzproduktes an  also zitiert eure.
Gruß lul

 lul,

ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich denke, Du meinst meinen Ansatz mit dem Parallelogramm bei a). Ich darf dort nicht damit argumentieren, denn diese Eigenschaft wird ja erst später erwähnt. Das heißt, ich müsste bei a) also anders vorgehen. 
Meintest Du diesen Punkt, oder stehe ich jetzt völlig auf der Leitung?

Das Kreuzprodukt ist bei uns mit den folgenden Eigenschaften eingeführt worden. Die Reihenfolge stimmt auch, ich habe es gerade noch einmal in den Unterlagen nachgelesen.

Das Kreuzprodukt von \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) ∈ R3 hat folgende Eigenschaften:

Wenn  \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) linear abhängig sind, dann gilt:
\( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) = 0

Wenn  \( \vec{u} \) und \( \vec{v} \) linear unabhängig sind, dann gilt:
\( \vec{u} \) x \( \vec{v} \) ⊥ Span (\( \vec{u} \), \( \vec{v} \))
\( \vec{u} \), \( \vec{v} \) und \( \vec{u} \) x \( \vec{v} \) sind positiv orientiert
||\( \vec{u} \) x \( \vec{v} \)|| ist der Flächeninhalt des Parallelogramms mit den Ecken 0, \( \vec{u} \), \( \vec{v} \) und \( \vec{u} \)+\( \vec{v} \)


Philippus

Mmmh, die Eigenschaften, über die ihr das Kreuzprodukt definiert habt, sind doch identisch zu den Aufgaben die du gestellt hast? Dann wäre ja nix mehr zu zeigen.

Vermutlich habt ihr doch auch eine Definition des Kreuzproduktes bekommen.

Auf diese musst du die Beweise stützen, wie lautet sie denn ?

Hallo,

vielen Dank für Eure Antworten!

Das Kreuzprodukt wurde wie folgt definiert:

Seien u, v ∈ R3 und u = (u1, u2, u3)T , v = (v1, v2, v3)T ihre Darstellung in Koordinaten.
Dann ist das Kreuzprodukt von u und v definiert als:

\( \vec{u} \) x\( \vec{v} \) := \( \begin{pmatrix} u2v3-u3v2\\u3v1-u1v3\\u1v2-u2v1 \end{pmatrix} \)

Anschließend sind dann die oben genannten Eigenschaften des Kreuzprodukts eingeführt worden, allerdings ohne weitere Erläuterungen. Diese Eigenschaften sollen wir nun beweisen oder widerlegen. Ich denke, dass das ganze auch mit Hilfe anderer Dinge (Skalarprodukt, Spatprodukt etc.) gemacht werden darf, falls diese hilfreich sein können. Im Moment stehe ich aber, wie Ihr schon gemerkt habt, ziemlich auf der Leitung und weiß nicht, wie ich beginnen soll.


Philippus

Eine Herleitung des Flächeninhalts des Parallelogramms mit dem Kreuzprodukt findest du hier:

http://www.dieter-heidorn.de/Mathematik/S2/Kap12_Vektorprodukt/Kap12_Vektorprodukt.html

Hallo Gast jc2144,

vielen Dank für diesen Link! Anhand dessen konnte ich es jetzt nachvollziehen und habe es verstanden.


Philippus

1 Antwort

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Beste Antwort

Hallo

überall eure Def. einsetzen

 zu a) bilde das Kreuzprodukt, von u und r*u

zu b) multipliziere u x v skalar mit u und  mit v, stelle fest dass das Skalarprodukt 0 ist.

zu c) einfach das Rechtssystem zeigen, d,h, wenn man u nach v dreht geht u x v in die rechte Schraubenrichtung.. ich denke es reicht wenn du das für die 2 ersten Standardeinheitsvektoren zeigst , da die ein Rechtssystem bilden. also (1,0,0)x(0,1,0)=(0,0,1)

d) 2 Vektoren in der Ebene nehmen, etwa u=(a,0,0) und einen mit Winkel  dazu  (b*cos(α),b*sin(α),0)  Fläche bestimmen  und Kreuzprodukt ausrechnen .

Gruß lul

von 69 k 🚀

Hallo lul,

vielen Dank für Deine Antwort. Ich habe versucht, Deine Hinweise umzusetzen und jetzt sieht es so aus:

a)

\( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix} \)  und \( \vec{y} \) = \( \begin{pmatrix} y1\\y2\\y3 \end{pmatrix} \)


Wenn \( \vec{y} \) linear abhängig von \( \vec{x} \) ist, muss gelten:

\( \vec{y} \) = \( \begin{pmatrix} λ*x1\\λ*x2\\λ*x3 \end{pmatrix} \)


Nun bilde ich das Kreuzprodukt aus \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \):

\( \vec{x} \) x \( \vec{y} \) = \( \begin{pmatrix} x2*λ*x3 - x3*λ*x2\\x3*λ*x1 - x1*λ*x3\\x1*λ*x2 - x2*λ*x1 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\0 \end{pmatrix} \)  = \( \vec{0} \)

Somit ist gezeigt, dass das Kreuzprodukt zweier Vektoren bei linearer Abhängigkeit gleich dem Nullvektor ist.

b)

Das Kreuzprodukt der linear unabhängigen Vektoren \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \) soll orthogonal zu dem von \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \) aufgespannten Vektorraum sein.

Ich bilde ich das Kreuzprodukt aus \( \vec{x} \) und \( \vec{y} \):

\( \vec{x} \) ο \( \vec{y} \): \( \begin{pmatrix} x2*y3-x3*y2\\x3*y1-x1*y3\\x1*y2-x2*y1 \end{pmatrix} \)

Nun bilde ich Skalarprodukt aus dem Kreuzprodukt und \( \vec{x} \) bzw. \( \vec{y} \):

\( \vec{x} \) ο (\( \vec{x} \) x \( \vec{y} \))

= x1*(x2y3-x3y2)+x2(x3y1-x1y3)+x3(x1y1-x2y1)

= x1x2y3-x1x3y2+x2x3y1-x2x1y3+x3x1y2-x3x2y1 (gleichfarbiges hebt sich jeweils auf)

= 0 -> Skalarprodukt = 0 -> Orthogonalität gegeben -> (\( \vec{x} \) x \( \vec{y} \)) ⊥ \( \vec{x} \)

Für \( \vec{y} \) ο (\( \vec{x} \) x \( \vec{y} \)) gehe ich genauso vor und erhalte ebenfalls das Skalarprodukt = 0, hier ist also auch Orthogonalität gegeben. Ich denke, das müsste dann als Beweis ausreichen, oder?

d)

Diesen Beweis bzw. die Herleitung habe ich jetzt auch verstanden und nachgerechnet. In Anbetracht des Aufwands, diese hier einzutippen, lasse ich sie weg.

Bleibt lediglich noch c), dort habe ich Deinen Hinweis leider noch nicht ganz verstanden.


Philippus

hallo

 da die Standardeinheitsvektoren ein Rechtssystem bilden würde ich einfach zeigen e1 x e2=e3  was für die gilt kann man für alle annehmen.

Gruß lul

Hallo lul,

ich habe versucht, es umzusetzen:

seien \( \vec{x} \) = \( \begin{pmatrix} 1\\0\\0 \end{pmatrix} \) und \( \vec{y} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\1\\0 \end{pmatrix} \)

Ihr Kreuzprodukt ist dann:

\( \vec{x} \) x \( \vec{y} \) = \( \begin{pmatrix} 0*0-0*1\\0*0-1*0\\1*1-0*0 \end{pmatrix} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Dieser Vektor heiße z, somit \( \vec{z} \) = \( \begin{pmatrix} 0\\0\\1 \end{pmatrix} \)

Drei Vektoren sind positiv orientiert bzw. bilden ein Rechtssystem, wenn ihre Determinante positiv ist.

det \( \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0& 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) = 1

Der Wert der Determinante ist 1, also ein positiver Wert. Somit ist der Beweis erbracht.

So hattest Du es gemeint, oder?

Gruß
Philippus

Hallo Phillipus,

streng genommen musst du zeigen,

dass det (u,v, u x v)=1 für alle u,v.

Das gibt wieder eine länglichere Rechnung.

 Gast jc2144,

ich bin nicht sicher, ob ich Dich korrekt verstanden habe. Meinst Du, dass ich anhand von Buchstaben(also keine konkreten Zahlenbeispiele) zeigen soll, dass det (u,v, u x v)=1 für alle u,v gilt?

Also so:

\( \vec{x} \) =\( \begin{pmatrix} x1\\x2\\x3 \end{pmatrix} \) , \( \vec{y} \)  = \( \begin{pmatrix} y1\\y2\\y3 \end{pmatrix} \)


\( \vec{x} \) x\( \vec{y} \) = \( \begin{pmatrix} x2y3-x3y2\\x3y1-x1y3\\x1y2-x2y1 \end{pmatrix} \) = \( \vec{z} \)


det (\( \vec{x} \),\( \vec{y} \),\( \vec{z} \)) =  x1*y2*(x1*y2-x2*y1)+y1*(x3*y1-x1*y3)*x3+(x2*y3-x3*y2)*x2*y3

Allerdings weiß ich nicht, wie ich an dieser Stelle jetzt weiter rechnen bzw. wie ich auf diesem Wege zu einer 1 kommen soll. Hast Du noch einen Tipp oder habe ich Dich einfach nur falsch verstanden?


Philippus

Entschuldige, ich hatte mich vertan.

Die Determinante von x,y, und x x y

gibt ja das Volumen des aufgespannten Spats an und ist dann allgemein nicht eins.

Folge dem Vorschlag von lul.

 Gast jc2144,

kein Problem, Irren ist menschlich. :-)

Heißt das, dass mein obiger Vorschlag (https://www.mathelounge.de/732220/mathematische-beweise-rund-um-das-kreuzprodukt?show=732562#c732562) soweit korrekt wäre?

Gruß
Philippus

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