Inhomogene lineare Dgl 1. Ordnung

Question

Aufgabe: Dgl. y' + 4y = x² - x lösen.

Problem/Ansatz:

Ich verstehe nicht wie man diese Art von Dgl. lösen kann. Mein Ansatz war es, es mit Substitution zu versuchen, was nicht funktioniert hat. Mein Ansatz war:

y' = x² - x - 4y

u = x² - x - 4y

y = \( \frac{x^2 - x - u}{4} \)

y' = \( \frac{2x - 1 - u}{4} \)

, dann einsetzen und mit Variablenseperation zu arbeiten. Jedoch bekomme ich die Gleichung dann nicht in eine geeignete Form: u + \( \frac{u'}{4} \) = \( \frac{2x-1}{4} \).

Wie löse ich diese DGL?

Bitte, danke!

Answer 1

Hallo,

y' + 4y = x^2 - x ->Lösung via Variation der Konstanten:

1) (dy/dx)  +4y =0 ->homogene DGL

dy/dx= -4y

dy/y= -4 dx

ln|y|= -4x +C

y_h=C₁ e^(-4x)


2) C1=C(x)

yp=C(x) e^(-4x)->Produktregel
yp'= C'(x) e^(-4x) - C(x) 4 e^(-4x)

3) Einsetzen von yp und yp' in die DGL

C(x) muß sich herauskürzen

C'(x)=  ...

C(x)= ...

4) yp= C(x) e^(-4x)

5)y= yh+yp

\( y(x)=c_{1} e^{-4 x}+\frac{x^{2}}{4}-\frac{3 x}{8}+\frac{3}{32} \)

Comments

Ah okay verstehe, danke vielmals!

Answer 2

Deine Ableitung ist falsch, u ist eine Funktion von x, also u=u(x).

Das ist eine Dgl. mit konst. Koeffizienten, die kannst Du primitiver lösen, als angegeben.