Mit welchem μ werden aus den folgenden Vektorfunktionen Gradienten?

Question

Aufgabe:

Mit welchem μ werden aus den folgenden Vektorfunktionen Gradienten?

(2y² + 3x + 2$x^{-2}$)$\vec{e}$_x + (2xy - $\frac{y}{x}$)$\vec{e}$_y

P(x,y) = 2y² + 3x + 2$x^{-2}$

Q(x,y)= 2xy - $\frac{y}{x}$

Problem/Ansatz:

Ich weiß, dass ich μ(x,y) jeweils mit P und Q multiplizieren muss, damit die Funktion zum Gradienten wird.

Aber wie bekomme ich dadurch μ raus?

Answer 1

Aloha :)

Die partielle Ableitung von $\mu(x;y)$ nach $x$ muss gleich der $x$-Komponente sein:

$$\frac{\partial\mu}{\partial x}(x;y)=2y^2+3x+\frac{2}{x^2}\implies \mu(x;y)=2y^2x+\frac{3}{2}x^2-\frac{2}{x}+c(y)$$Die rechte Seite ist durch Integration über $dx$ entstanden. Dabei entsteht eine Integrations"konstante" $c(y)$, die von $y$ abhängen kann.

Die partielle Ableitung von $\mu(x;y)$ nach $y$ muss gleich der $y$-Komponente des Gradienten sein. Wir setzen daher $\mu(x;y)$ von oben ein und vergleichen das Ergebnis mit der $y$-Komponente des Gradienten:

$$\frac{\partial\mu}{\partial y}(x;y)=4xy+c'(y)\stackrel!=2xy-\frac{y}{x}\implies c'(y)=-2xy-\frac{y}{x}\quad\text{Problem!}$$

Hier haben wir nun ein Problem, denn die Integrations"konstante" $c(y)$ hängt nicht nur von $y$, sondern auch von $x$ ab. Daher gibt es kein Potential $\mu(x;y)$ für den angegebenen Gradienten.