Unendlich viele Lösungen der Lagrange-Multiplikatoren?

Question

Aufgabe:

es geht darum zu zeigen, dass der Punkt x*=[1 -1]^T die notwendigen Optimalitäts- Bedingungen erster Ordnung (KKT-Bedingungen) erfüllt und es sollen zusätzlich die dazugehörigen Lagrange-Multiplikatoren λ₁*, λ₂* berechnet werden

Es geht um die Funktion f(x₁,x₂)= e^(1-x1)+e^(1+x2)

mit den Beschränkungen:

c1(x)= -x₁²-x₂²+2 ≥ 0   

c2(x)= x1 -x2 ≥ 0 
Problem/Ansatz:

Ich habe die Lagrange-Funktion L(x,λ) = f(x) - ∑ λ_i •c_i(x) = exp(1-x1) +exp(1+x2) -λ1(-x1² -x2² +2) - λ2 (x1-x2) aufgestellt und den Gradienten gebildet:

∇L(x,λ) = [-exp(1-x1) + 2•λ1•x1 -λ2]

               [exp(1+x2) + 2•λ1•x2 +λ2]

Wenn ich da x* einsetze, mit 0 gleichsetze, komme ich auf unendlich viele Lösungen von den beiden λ*. Habe ich mich irgendwo vertan?

Comments

Habe ich mich irgendwo vertan?

Ja - in diesem Fall liegen die Nebenbedingungen als Ungleichungen und nicht als Gleichungen vor. Zitat aus Wikipedia:

Der Lagrange-Multiplikatorensatz gilt nur für den Fall, dass die Nebenbedingungen durch Gleichungen gegeben sind.

Ansonsten siehe hier.

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aber wie prüfe ich sonst die Bedingungen erster Ordnung, die verlangt werden? Und es wird auch explizit nach Lagrange-Multiplikatoren gefragt...

In den Vorlesungsunterlagen steht nichts davon, dass das bei Ungleichungen nicht funktioniert. Hier wird vielmehr zwischen "aktiven" und "inaktiven" Beschränkungen unterschieden und da hier kein Echt Größer oder Kleiner-Zeichen steht, sind es nach dieser Definition aktive Beschränkungen

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Ja - sie sind aktiv, aber sie sind auch redundant. Bzw. sie sind genau im Punkt $(1;\,-1)$ redundant. Dort haben die beiden Funktionen $c_1=0$ und $c_2 = \text{const}$(!) die gleichen Steigungen (genauer: die Steigungen von $c_1$ und $c_2$ sind in $(1;\,-1)$ nicht linear unabhängig!). Deshalb bekommst Du auch unendlich viele Lösungen für $\lambda_1$ und $\lambda_2$.

Das sieht man auch auf der Skizze. Ich würde die Nebenbedingung einzeln betrachten. D.h. löse das ganze einmal für $c_1$ und dann nochmal für $c_2$. $$\lambda_1^* = \frac 12, \quad \lambda_2^* = -1$$

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okay, vielen Dank schon mal, aber ich habe hier ein sehr ungutes Gefühl, weil in den Unterlagen immer lineare Unabhängigkeit vorausgesetzt wird. (Muss diese Aufgabe als Hausaufgabe abgeben) Wenn man die separat betrachtet, entstehen dann dadurch Einschränkungen bei der Gesamtoptimierung?

In der darauffolgenden Teilaufgabe muss dann die Menge linearisierter zulässiger Richtungen F(x) sowie der kritische Kegel bestimmt werden. Gibt es dafür dann auch irgendwelche Folgen?

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... weil in den Unterlagen immer lineare Unabhängigkeit vorausgesetzt wird.

Ja klar, sonst bekommt man auch keine eindeutige Lösung. So wie das hier der Fall ist.

Wenn man die separat betrachtet, entstehen dann dadurch Einschränkungen bei der Gesamtoptimierung?

Auch ja! Ich finde es aber auch überflüssig, dass überhaupt nach den Werten von $\lambda_{1,2}$ gefragt wird. Entscheidend ist doch nur, dass diese $\ne 0$ sind. D.h. es muss eine lineare Abhängigkeit zur Steigung der Hauptbedingung vorliegen. Und die liegt hier immer vor, wenn $$2 \lambda_1^* - \lambda_2^* = 1$$ ist. Die Werte, die ich oben angegeben habe, gelten genau dann, wenn der jeweils andere Wert $=0$ und damit irrelevant ist. D.h. die Paare $(\lambda_1^*;\,\lambda_2^*) = (1/2;\,0)$ und $(\lambda_1^*;\,\lambda_2^*) = (0;\,-1)$ sind jeweils Lösungen der obigen Gleichung.

Man könnte das ganze auch so interpretieren, dass $c_2$ im Punkt $(1;\,-1)$ gar keine Rolle spielt, da dieser Punkt gar nicht auf dem Rand von $c_2$ liegt. Somit ist dort nur $c_1$ überhaupt relevant.

Das ist IMHO die korrekte Lösung: $\lambda_1^* = 1/2$ und $\lambda_2^*$ ist hier irrelevant.

In der darauffolgenden Teilaufgabe muss dann die Menge linearisierter zulässiger Richtungen F(x) sowie der kritische Kegel bestimmt werden.

... da weiß ich nicht, was das ist. 'kritischer Kegel' sagt mir auch nichts.

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leider weiß ich immer noch nicht, wie ich es für die Abgabe formulieren soll und es ist mittlerweile echt ein wenig nerventreibend. Soll ich einfach formulieren, dass die Bedingungen erster Ordnung nicht nachgewiesen werden könen, da die Gradienten linear abhängig sind? Gibt es ausser KKT eventuell noch weitere Nachweismöglichkeiten?

In der letzten Teilaufgabe muss dann noch gezeigt werden, dass die Bedingungen 2. Ordnung erfüllt sind und dass es sich tatsächlich um ein Minimum handelt... ich vermute sogar fast einen Fehler in der Aufgabenstellung

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leider weiß ich immer noch nicht, wie ich es für die Abgabe formulieren soll

Es tut mir leid, aber da kann ich auch nicht mehr helfen, als das was ich oben bereits geschrieben habe. Wenn Du das in Prosa abgeben kannst (kein Multiple Choice), so schreibe das doch so hin, wie Du es selbst verstanden hast.

Den Lambda-Operator $\lambda_2^*$ (von $c_2$) im Punkt $(1|\, -1)$ halte ich für irrelevant bzw. nicht existent. Aber das ist meine persönliche Meinung bzw. Folgerung aus den Randbedingungen der Aufgabe.

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Ich glaube, es hat sich jetzt erledigt. λ₁ ist 0.5, aber λ₂ muss zwingend 0 sein, da eine KKT-Bedingung

λ₂* •c2(x*)=0   lautet und c2 wäre dann (x1-x2) und das ergibt für das Minimum (1 -1) dann 2, somit muss es zwingend Null sein.

Vielen Dank für die Hilfe :)