Bestimme zum Punkt \mathrm{P}(1|3| 2) den Bildpunkt Q bei der Verschiebung \overrightarrow{P Q}=(1-21)

Question

Aufgabe :2. Bestimme zum Punkt $\mathrm{P}(1|3| 2)$ den Bildpunkt Q bei der Verschiebung $\overrightarrow{P Q}=(1-21)$
3. Gegeben sind $\mathrm{Q}(2|-1| 0)$ und
$\overrightarrow{P Q}=(0-13) .$ Bestimme den Punkt P.

Problem/Ansatz: ich verstehe die aufgabenstellung nicht. Könnt ihr mir mal erklären was ich machen muss? Oder wie diese aufgaben berechnet werden?

Answer 1

Aloha :)

$\vec a$ sei der Ortsvektor zum Punkt $A$ und $\vec b$ sei der Ortsvektor zum Punkt $B$. Ortsvektoren starten immer am Koordinanten-Ursprung, daher haben Ortsvektoren dieselben Koordinaten wie die Punkte, auf die sie zeigen. Der Vektor $\overrightarrow{AB}$ führt vom Punkt $A$ zum Punkt $B$ ist also kein Ortsvektor, weil er beim Punkt $A$ und nicht am Ursprung startet. Trotzdem kann man $\overrightarrow{AB}$ durch die Ortsvektoren von $A$ und $B$ ausdrücken.

Um von $A$ zu $B$ zu gelangen, gehen wir den entgegengesetzen Ortsvektor $(-\vec a)$ entlang und kommen zum Ursprung. Von dort aus gehen wir den Ortsvektor $\vec b$ zum Punkt $B$ entlang. Das heißt:$$\overrightarrow{AB}=\vec b-\vec a\quad\left(\text{Merke: "Ziel minus Start"}\right)$$

Damit schauen wir uns die Aufgaben an...

zu 2) Der Punkt $P(1;3;2)$ hat den Ortsvektor $\vec p=(1;3;2)$. Wir kennen den Vektor von $\overrightarrow{PQ}=(1;-2;1)$ von $P$ nach $Q$. Damit können wir den Ortsvektor $\vec q$ zum Punkt $Q$ bestimmen:

$$\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p\quad\implies\quad \vec q=\vec p+\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}1\\3\\2\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\1\\3\end{pmatrix}$$Der gesuchte Punkt ist also $Q(2;1;3)$.

zu 3) Jetzt sind $Q(2;-1;0)$ und $\overrightarrow{PQ}=(0;-1;3)$ gegeben. Gesucht ist der Punkt $P$.

$$\overrightarrow{PQ}=\vec q-\vec p\quad\implies\quad\vec p=\vec q-\overrightarrow{PQ}=\begin{pmatrix}2\\-1\\0\end{pmatrix}-\begin{pmatrix}0\\-1\\3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\0\\-3\end{pmatrix}$$Der gesuchte Punkt ist also $P(2;0;-3)$.