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Aufgabe:


(x2 + 6x - 67)/(x+5) ≥ 2

Könnt ihr mir helfen diese Ungleichung zu lösen


Problem/Ansatz:

x ≠ -5


1. x > -5

x2 - 6x -67 = 0


x2 + 6x - 67 ≥ 2(x+5)

x2 + 6x -67 ≥ 2x + 10

x2+x-77 ≥ 0

x1/2 = -2 +- 9

=> x1 = 7 ; x2 = -11

=> (x-7)(x+11)  ≥ 0

x1<7 ; x2 > -11


2. x < -5

x2 + 6x - 67 ≤ 2(x+5)

x2 + 6x - 67 ≤ 2x + 10

x2 + 4x -77 ≤ 0

x1/2 = -2+-9

=> (x-7)(x+11) ≤ 0

x1<7 ; x2 > -11


Bin mir unsicher bei der Lösungsmenge, wie errechnet man die richtig und kann die auch vereinfacht darstellen? :)

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x ≠ -5

Das ist richtig; die Definitionsmenge ist D={xR\5}\mathbb D = \{ x \in \mathbb R \backslash 5 \}

1. x > -5

ok - ist der erste von 2 Fällen

x2 - 6x -67 = 0

.. macht keinen Sinn und kann nicht sein, da dann 020 \ge 2 wäre

x2 + 6x - 67 ≥ 2(x+5)
x2 + 6x -67 ≥ 2x + 10

ok

x2+x-77 ≥ 0

das ist falsch - besser x2+6x672x+102x10x2+6x2x67100x2+4x770\begin{aligned} x^2 + 6x -67 &\ge 2x + 10 &&|\, -2x-10 \\ x^2 + 6x -2x -67 -10 &\ge 0 \\ x^2 + 4x - 77 &\ge 0\end{aligned}

x1/2 = -2 +- 9
=> x1 = 7 ; x2 = -11
=> (x-7)(x+11)  ≥ 0

ist richtig, aber Du musst das Ergebnis auch interpretieren können. Das Produkt links ist größer-gleich 0, wenn entweder beide Faktoren größer-gleich 0 sind, oder beide kleiner 0 x70x+110    x>7x7<0x+11<0    x<11x-7 \ge 0 \land x+11 \ge 0 \implies x \gt 7 \\ x-7 \lt 0 \land x+11 \lt 0 \implies x \lt -11

Eventuell ist es anschaulicher es mit der quadratischen Ergtänzung zu versuchen. Alsox2+4x770x2+4x+44770(x+2)2810+81(x+2)281x+29x+29x2x7(x+2)9x<2x11(1)x11\begin{aligned} x^2 + 4x - 77 &\ge 0 \\ x^2 + 4x + 4 - 4 - 77 &\ge 0\\ (x+2)^2 - 81 &\ge 0 &&|\, +81\\ (x+2)^2 &\ge 81 \\ |x+2| &\ge 9 \\ x+2 &\ge 9 &&|\, x \ge -2 \\ x &\ge 7 \\ -(x+2) &\ge 9 &&|\, x \lt -2 \\ -x &\ge 11 &&|\,\cdot (-1) \\ x &\le -11\\ \end{aligned}das Ergebnis ist natürlich das gleiche.

Da dieser Fall die Einschränkung x>5x \gt -5 beinhaltet, bleibt hier nur noch übrig:L1={xR :  x>7}\mathbb L_1 = \{x \in \mathbb R:\space x \gt 7\}

=> x_1 = 7 ; x_2 = -11

Diese Angabe ist nicht korrekt. Zunächst ist die Bedingung x>5x \gt -5 (s.o.) und x=11x = -11 ein Widerspruch. Zum anderen besteht die Lösung nicht aus zwei Zahlen x1x_1 und x2x_2, sondern aus einer Zahlenmenge - also aus einem ganzen Haufen von Zahlen. Hier gehören alle Zahlen zu L1\mathbb L_1, die größer-gleich der 7 sind.

Für den 2.Fall x<5x \lt -5 ändert sich an der Rechnung selbst nichts. Es wird aber bei der Multiplikation von x5x-5 das \ge zu \le. Folglich steht am Ende dax+29|x+2| \le 9mit der Lösung 11x7-11 \le x \le 7. Zusätzlich mit der Einschränkung x<5x \lt -5 bleibt dann nurL2={xR :  11x<5}\mathbb L_2 = \{x \in \mathbb R:\space -11 \le x \lt -5\}Die Lösungsmenge ist dannL=L1L2={xR :  11x<57x}\mathbb L = \mathbb L_1 \lor \mathbb L_2 = \{x \in \mathbb R:\space -11 \le x \lt -5 \lor 7 \le x\}Der Plot zeigt das auch

Plotlux öffnen

f1(x) = (x2+6x-67)/(x+5)f2(x) = 2x = -11x = 7x = -5Zoom: x(-20…15) y(-20…20)


nur in dem Bereich von -11 bis -5 und oberhalb von +7 liegt der blaue Graph oberhalb der 2 (rot).

4 Antworten

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(x-7)(x+11)  ≥ 0

x1<7 ; x2 > -11

Dein Abschluss ist genau verkehrt herum, Wenn (x-7)(x+11)  ≥ 0 sein soll, muss x≤-11 oder x≥7 sein.

Vergiss auch nicht, dass dieser Teil unter der Annahme x > -5 gerechnet wurde. Wenn x>-5 ist, kann x gar nicht kleiner oder gleich -11 sein. Übrig bleibt hier nur die Zusammenfassung von x≥7 und x > -5.

Beide Bedingungen gelten nur, wenn x≥7 gilt


Im zweiten Fall x<-5 ist deine Umstellung zu x1<7 ; x2 > -11 fast richtig, du musst nur auch die Gleichheit zulassen. Lösung sind also hier alle Zahlen zwischen -11 und 7, die die angenommenen Bedingung x<-5 erfüllen.

Damit ergeben sich Lösungen der Ungleichung noch für -11≤x<-5.

Avatar von 56 k 🚀

Warum heißt es nicht x1<=7 ; x2 => -11?

Warum heißt es nicht x1<=7 ; x2 => -11?


Von welchem der beiden Fälle sprichst du?

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(x2 + 6x - 67 ) / (x+5) ≥ 2
vereinfachen wir einmal kurzzeitig zu
( x2 + 6x - 67 ) / ( x+5 ) = 2
( x2 + 6x - 67 ) =  2 * ( x+5 )
x2 + 6x - 67 = 2x - 10
pq-Formel oder quadr. Ergänzung
x = -10.31
und
x = 6.31
Punktprobe zwischen -10.31 und 6.31
x = 1
(12 + 6*1 - 67 ) / (1+5) ≥ 2
- 60 / 6  ≥  2 falsch
also
x ≤ -10.31 und x ≥ 6.31
und x ≠ -5

Bei Bedarf nachfragen.

Avatar von 123 k 🚀
Bei Bedarf nachfragen.


Tu es doch und frage den Fragesteller, dem du helfen willst, wie du auf seine richtige Lösung der quadratischen Gleichung kommen könntest.


Abgesehen von deinem Umformungsfehler von 2(x+5) zu 2x-10 scheinst du auch keinen blassen Schimmer zu haben, welche Fallunterscheidung hier noch beim Lösen der Ungleichung notwendig ist.


Die Blamage wäre dir erspart geblieben, wenn du einfach mal mit seinen Lösungen 7 und -11 die Probe in der Ausgangs(un)gleichung gemacht hättest.

Fehlerkorrektur
( x2 + 6x - 67 ) =  2 * ( x+5 )

Statt
x2 + 6x - 67 = 2x minus 10
muß es heißen
x2 + 6x - 67 = 2x plus 10
dann kommt auch
x = 7
und
x = -11
heraus

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Mein Ergebnis sieht so aus:


x2+6x67x+5211x<5\dfrac{x^2 + 6x - 67}{x+5}\ge2\\ \Rightarrow -11\le x<-5 oder x7x\ge7

Avatar von 47 k
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L=[11;5[[7;[ L = \left[-11; -5\right[ \cup \left[7; \infty\right[

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