x ≠ -5
Das ist richtig; die Definitionsmenge ist D={x∈R\5}
1. x > -5
ok - ist der erste von 2 Fällen
x2 - 6x -67 = 0
.. macht keinen Sinn und kann nicht sein, da dann 0≥2 wäre
x2 + 6x - 67 ≥ 2(x+5)
x2 + 6x -67 ≥ 2x + 10
ok
x2+x-77 ≥ 0
das ist falsch - besser x2+6x−67x2+6x−2x−67−10x2+4x−77≥2x+10≥0≥0∣−2x−10
x1/2 = -2 +- 9
=> x1 = 7 ; x2 = -11
=> (x-7)(x+11) ≥ 0
ist richtig, aber Du musst das Ergebnis auch interpretieren können. Das Produkt links ist größer-gleich 0, wenn entweder beide Faktoren größer-gleich 0 sind, oder beide kleiner 0 x−7≥0∧x+11≥0⟹x>7x−7<0∧x+11<0⟹x<−11
Eventuell ist es anschaulicher es mit der quadratischen Ergtänzung zu versuchen. Alsox2+4x−77x2+4x+4−4−77(x+2)2−81(x+2)2∣x+2∣x+2x−(x+2)−xx≥0≥0≥0≥81≥9≥9≥7≥9≥11≤−11∣+81∣x≥−2∣x<−2∣⋅(−1)das Ergebnis ist natürlich das gleiche.
Da dieser Fall die Einschränkung x>−5 beinhaltet, bleibt hier nur noch übrig:L1={x∈R : x>7}
=> x_1 = 7 ; x_2 = -11
Diese Angabe ist nicht korrekt. Zunächst ist die Bedingung x>−5 (s.o.) und x=−11 ein Widerspruch. Zum anderen besteht die Lösung nicht aus zwei Zahlen x1 und x2, sondern aus einer Zahlenmenge - also aus einem ganzen Haufen von Zahlen. Hier gehören alle Zahlen zu L1, die größer-gleich der 7 sind.
Für den 2.Fall x<−5 ändert sich an der Rechnung selbst nichts. Es wird aber bei der Multiplikation von x−5 das ≥ zu ≤. Folglich steht am Ende da∣x+2∣≤9mit der Lösung −11≤x≤7. Zusätzlich mit der Einschränkung x<−5 bleibt dann nurL2={x∈R : −11≤x<−5}Die Lösungsmenge ist dannL=L1∨L2={x∈R : −11≤x<−5∨7≤x}Der Plot zeigt das auch
Plotlux öffnen f1(x) = (x2+6x-67)/(x+5)f2(x) = 2x = -11x = 7x = -5Zoom: x(-20…15) y(-20…20)
nur in dem Bereich von -11 bis -5 und oberhalb von +7 liegt der blaue Graph oberhalb der 2 (rot).