Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, der Tangente in P und der x-Achse begrenzt wird.

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie den Inhalt der Fläche, die vom Graphen von f, der Tangente in P und der x-Achse begrenzt wird.

f(x)=1/2x²; P(3 | 4,5)

Problem/Ansatz:

leider komme ich bei dieser Aufgabe nicht weiter. Meine erste Idee war es die Punkte in t=mx+b einzusetzen. Ich weiß aber nicht ob das passt.

Könnte mir damit jemand helfen?

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t(x) = (x-3)*f '(3)+ 4,5

Answer 1

f(x)=(1/2) x²; P(3 | 4,5)   und f ' (x) =  x  also f ' (3)=3

==> Tangente hat die Steigung m=3 und

t(x) = mx+b gibt    t(x) = 3x+b   mit dem P

                         4,5 = 9 + b ==>  b=-4,5

==>  t(x) = 3x-4,5 Also so: ~plot~ 3x-4.5;0.5*x^2 ~plot~

Fläche dann mit dem Integral:

A = \( \int \limits_{0}^{3}  0,5x^2 dx \) - Dreieck

   = \( \int \limits_{0}^{3}  0,5x^2 dx \) - 1,5*4,5/2 = 1,125 FE

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Wie kommt man darauf, dass die obere grenze 3 ist?

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Berührpunkt der Tangente hat x=3.

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Also ist die Steigung der Tagente immer der Berührpunkt und somit die obere Grenze?

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Tangente hat hier nur zufällig auch die Steigung 3.

Answer 2

Berechnung der Tangente:

f(x)=0,5x^2

f´(x)=x

P(3|4,5)

f´(3)=3

\( \frac{y-4,5}{x-3} \)=3

y=3x-4,5

Nullstelle Tangente:

3x-4,5=0

x=1,5
Nun muss die Fläche unter der Tangente y=3x-4,5 in den Grenzen 3 und 1,5 von der Fläche unter der Parabel in den Grenzen 3 und 0 abgezogen werden

A_1=\( \int\limits_{1,5}^{3} \)(3x-4,5)*dx
A_2=\( \int\limits_{0}^{3} \)0,5 *x^2*dx
A=A_2- A_1

Comments

Wie kommt man auf -4,5?

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Und ist das Ergebnis 4,5?

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1.)  \(\frac{y-4,5}{x-3} \)=3

y-4,5=3*(x-3)=3x-9

y=3x-9+4,5=3x- 4,5

2.)  A_1= \( \int\limits_{1,5}^{3} \)(3x-4,5)*dx=[ \( \frac{3}{2} \)*x^2-4,5x] in den Grenzen 3 und 1,5->

->[\( \frac{3}{2} \)*3^2-4,5*3]  -  [\( \frac{3}{2} \)*1,5^2-4,5*1,5]=...

A_2= \( \int\limits_{0}^{3} \) \( \frac{1}{2} \) x^2*dx= [\( \frac{1}{6} \)x^3 ]in den Grenzen 3 und 0

->[\( \frac{27}{6} \)]-[\( \frac{1}{6} \)*0^3]=...

A=...

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Okay, danke!