Die Internet Welt 1997

Question

Aufgabe:

a) Ermitteln Sie zu den Daten eine geeignete Exponentialfunktion mit der Basis e. Wählen Sie hier x=0 für das Jahr 1990. (Zahl der weltweiten Knoten-Rechner in Millionen, beträgt 1990=0,2 ; 1991=0,4 ; 1992=0,6 ; 1993=1,3 ; 1994=2,2 ; 1995=4,9 ; 1996=9,5 ; 1997=26,1)

b) Machen Sie mit Ihrem Modell eine Prognose für 2010. Versuchen Sie, aktuelle Daten zu bekommen.

Problem/Ansatz:

Bei a) weiß ich leider nicht, wie ich die Funktion bilde.

Answer 1

Aloha :)

a) Wir sollen eine Exponential-Funktion mit der Basis $e$ finden,$$f(x)=a\cdot e^{bx}$$die möglichst gut zu den angegebenen Punkten passt.$$(0|0,2)\;;\;(1|0,4)\;;\;(2|0,6)\;;\;(3|1,3)\;;\;(4|2,2)\;;\;(5|4,9)\;;\;(6|9,5)\;;\;(7|26,1)$$

Wir bestimmen nicht $f(x)$, sondern, den natürlichen Logarithmus von $f(x)$:$$\ln f(x)=\ln\left(a\cdot e^{bx}\right)=\ln a+\ln\left(e^{bx}\right)=\ln a+bx$$

Setzen wir die 8 Werte ein, erhalten wir 8 Gleichungen für 2 Unbekannte $a$ und $b$:

$$\begin{array}{lcl}\ln(0,2)&=&\ln a+b\cdot0\\\ln(0,4)&=&\ln a+b\cdot1\\\ln(0,6)&=&\ln a+b\cdot2\\\ln(1,3)&=&\ln a+b\cdot3\\\ln(2,2)&=&\ln a+b\cdot4\\\ln(4,9)&=&\ln a+b\cdot5\\\ln(9,5)&=&\ln a+b\cdot6\\\ln(26,1)&=&\ln a+b\cdot7\end{array}\quad\Longleftrightarrow\quad\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\1 & 1\\1 & 2\\1 & 3\\1 & 4\\1 & 5\\1 & 6\\1 & 7\end{array}\right)\cdot\binom{\ln a}{b}=\begin{pmatrix}\ln(0,2)\\\ln(0,4)\\\ln(0,6)\\\ln(1,3)\\\ln(2,2)\\\ln(4,9)\\\ln(9,5)\\\ln(26,1)\end{pmatrix}$$Wir werden keine Lösung für $\binom{\ln a}{b}$ finden, die alle 8 Gleichungen perfekt erfüllt. Gemäß der Gauß'schen Methode der kleinsten Fehlerquadrate kann man jedoch die am besten passende Lösung finden, indem man beide Seiten der Matrix-Gleichung von links mit der transponierten Koeffizientenmatrix multipliziert.

Die linke Matrix wird dann zu:$$\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\end{array}\right)\left(\begin{array}{rr}1 & 0\\1 & 1\\1 & 2\\1 & 3\\1 & 4\\1 & 5\\1 & 6\\1 & 7\end{array}\right)=\left(\begin{array}{rr}8 & 28\\28 & 140\end{array}\right)$$

Die rechte Matrix wird zu, wobei die Logarithmen ausgerechnet wurden:$$\left(\begin{array}{r}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1\\0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7\end{array}\right)\begin{pmatrix}\ln(0,2)\\\ln(0,4)\\\ln(0,6)\\\ln(1,3)\\\ln(2,2)\\\ln(4,9)\\\ln(9,5)\\\ln(26,1)\end{pmatrix}=\left(\begin{array}{rr}5,116729675\\46,29045427\end{array}\right)$$

Das führt uns zu der sogenannten Normalengleichung:$$\left(\begin{array}{rr}8 & 28\\28 & 140\end{array}\right)\cdot\binom{\ln a}{b}=\left(\begin{array}{rr}5,116729675\\46,29045427\end{array}\right)$$die sich als einfaches Gleichungssystem für 2 Unbekannte lösen lässt:

$$\binom{\ln a}{b}=\left(\begin{array}{rr}8 & 28\\28 & 140\end{array}\right)^{-1}\left(\begin{array}{rr}5,116729675\\46,29045427\end{array}\right)=\binom{-1,725567158}{0,675759534}$$Mit $a=e^{\ln a}=e^{-1,725567158}=0,178072028$ haben wir nun unsere Funktion gefunden:$$\boxed{f(x)=0,178072\cdot e^{0,675760\cdot x}}$$

Plotlux öffnen

f₁(x) = 0,178072·e^(0,675760·x)P(0|0,2)P(1|0,4)P(2|0,6)P(3|1,3)P(4|2,2)P(5|4,9)P(6|9,5)P(7|26,1)Zoom: x(-0,5…8) y(0…30)

b) Für $2010$, also $x=20$ erwarten wir nach dieser Prognose$$f(20)=131\,878\text{ Knoten-Rechner}$$Aktuelle Daten habe ich nicht mehr gesucht, aber da kannst du bestimmt was finden.

Comments

Tausend dank

---

Könntest du bei meinen weiteren Fragen mit helfen:)