Welche Beziehung muss für die Koeffizienten der Funktion f mit f(x) = x^3 +bx^2+cx+d gelten, damit das Schaubild von …

Question

Aufgabe:

Welche Beziehung muss für die Koeffizienten der Funktion f mit f(x) = x^3 +bx^2+cx+d gelten, damit das Schaubild von f zwei, genau eine bzw. keine waagrechte Tangente hat?

Problem/Ansatz:

Ich habe mit den Ableitungen gearbeitet, aber komme nicht weiter. Unser Lehrer hatte gesagt, dass man die erste Ableitung mit 0 gleichsetzen solle und nach x auflösen. Nun hab ich das getan, aber wie solch ich erkennen wie viele Nullstellen/ Tangenten es gibt?

Answer 1

Aloha :)

Da hier nicht nach Extremstellen, sonden nur nach waagerechten Tangenten gefragt ist, muss als einzige Bedinung die erste Ableitung verschwinden. Diese lösen wir mit der pq-Formel:

$$\left.f'(x)=3x^2+2bx+c\stackrel!=0\quad\right|:\,3$$$$\left.x^2+\frac{2b}{3}x+\frac{c}{3}=0\quad\right|\text{pq-Formel}$$$$x_{1;2}=-\frac{b}{3}\pm\sqrt{\left(\frac{b}{3}\right)^2-\frac{c}{3}}=-\frac{b}{3}\pm\sqrt{\frac{b^2}{9}-\frac{3c}{9}}=-\frac{b}{3}\pm\frac{1}{3}\sqrt{b^2-3c}$$Entscheidend für die Anzahl der Lösungen ist der Wert unterhalb der Wurzel.

1. Fall: \(b^2<3c\)

In diesem Fall ist \(b^2-3c<0\). Der Wert unter der Wurzel ist also negativ, sodass die Wurzel in \(\mathbb R\) nicht definiert ist. In diesem Fall gibt es keine Lösung und daher keine waagerechte Tangente.

2. Fall \(b^2=3c\)

In diesem Fall ist \(b^2-3c=0\) und es gibt genau eine Lösung, nämlich \(x_1=-\frac{b}{3}\). In diesem Fall gibt es also genau eine waagerechte Tangente.

3. Fall \(b^2>3c\)

In diesem Fall ist \(b^2-3c>0\) und die Wurzel ist \(>0\). Es gibt somit 2 unterschiedliche Lösungen und genau 2 waagerechte Tangenten.

Answer 2

dass man die erste Ableitung mit 0 gleichsetzen solle

Dann hat man eine quadratische Gleichung.

wie solch ich erkennen wie viele Nullstellen/ Tangenten es gibt?

Bei quadratischen Gleichungen macht man das anhand der Diskriminante.

Answer 3

Nun hab ich das getan,

und hast als Ergebnis etwas  von der Art

       ............  ±√ (...........)  .

Wenn in der Wurzel 0 steht , gibt das genau eine Lösung,

also gibt es kann genau eine solche Tangentze.

In der Wurzel was negatives ==>  keine solche Tangente

und bei was positivem gibt es 2.