wie kann ich diese Tabelle durch das Gauß Verfahren lösen?

Question

Aufgabe:

Tabelle

                   X         b2

b1    15      - 3          5

y     - 8       - 1          1

Problem/Ansatz:

wie kann ich diese Tabelle durch das Gauß Verfahren lösen? Ich weiß nicht wie ich die tabelle aufstellen soll?

Comments

Da musst Du schon die komplette Fragestellung rauslassen.

Wie kommt man von der Tabelle zu einem linearen GS?

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Das weiß ich nicht mir würde nur die tabelle vorgegeben

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Dann wird das nix. Die Tabelle allein sagt mir nicht, wie ich zu einem linearen Gleichungssystem kommen soll...

Ist sie denn KORREKT wiedergegeben?

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Da steht nur : das man es mit dem Gauß Verfahren lösen kann oder das man die angegebene Tabelle rücktransformieren kann in ein lineares Gleichungssystem

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Nun, ja davon red ich ja.

Ohne Hintergrundinformation um was es geht sehe ich keinen Weg zu einem linearem GS...

Die Aufgabe fällt nicht isoliert vom Himmel - da gibt es doch einen mathematischen Kontext in dem ihr euch bewegt.

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Da steht nur nach x und y lösen aber mehr Informationen hab ich leider auch nicht :( dennoch vielen Dank !

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.. und Du bist sicher, dass dort nicht dies steht

                X         Y

b1    15      - 3          5

b2    - 8      - 1          1

??

wie lautet denn die Aufgabe davor? und wie heißt die Kapitelüberschrift von dem Kapitel, in dem die von Dir angegebene Aufgabe steht?

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Ja zu 100% deswegen kann ich die Aufgabe auch nicht lösen, weil ich die Tabelle nicht verstehe :( und es ist eine alte Klausur Aufgabe, weshalb da keine Überschrift steht

Answer 1

Hallo,

Es kommt vielleicht auch gar nicht darauf an, dass diese eine Aufgabe korrekt gelöst wird. Du willst doch sicher wissen, wie das mit dem Gaußschen Algorithmus funktioniert. Zunächst muss geklärt sein, was die rechte Seite des linearen Gleichungssystems (LGS) ist. Ich postuliere mal, es ist $$\begin{pmatrix}15\\ -8\end{pmatrix}$$Dann hier noch mal die 'Tabelle' mit der 'rechten Seite', die jetzt auf der linken Seite steht, was aber keine Rolle spielt:$$\begin{array}{c|cc}15& -3& 5\\ -8& -1& 1\end{array}$$Das Ziel ist es nun, aus der Matrix (die hier rechts steht), eine Einheitsmatrix zu machen. Dazu darf man jede Zeile mit einem beliebigen Faktor $\ne 0$ multiplizieren und Zeilen addieren und subtrahieren.

Links oben steht eine $-3$ dort braucht man eine $1$. Daher tausche ich einfach die beiden Zeilen. Das ist wie bei einem Gleichungssystem. Durch Vertauschen von Gleichungen ändert man nichts an dem System selbst.$$\begin{array}{c|cc}-8& -1& 1\\ 15& -3& 5\end{array}$$So und nun die erste Zeile mit $-1$ mal nehmen, damit oben links eine $1$ steht$$\begin{array}{c|cc}8& 1& -1\\ 15& -3& 5\end{array}$$Im nächsten Schritt sollen jetzt die Elemente unterhalb dieser eben gewonnenen $1$ zu $0$ werden. Dazu zieht man das $-3$-fache der ersten Zeile von der zweiten ab, bzw. addiert das 3-fache:$$\begin{array}{c|cc}8& 1& -1\\ 39& 0& 2\end{array}$$Jetzt soll die nächste Zahl auf der Hauptdiagonalen zu $1$ werden (wir wollen ja eine Einheitsmatrix). Dazu dividieren wir die zweite Zeile durch $2$$$\begin{array}{c|cc}8& 1& -1\\ 19,5& 0& 1\end{array}$$Wenn man mit den $1$'en auf der Hauptdiagonale unten rechts angekommen ist, zieht man von links nach rechts ein Vielfaches der unteren Zeile von der oberen ab. So dass außerhalb der Hauptdiagonalen die Elemente zu $0$ werden. Hier ist das die $-1$, die übrig geblieben ist, also das $-1$-fache der zweiten Zeile von der ersten abziehen, bzw. die untere zur addieren, was das gleiche ist.$$\begin{array}{c|cc}27,5& 1& 0\\ 19,5& 0& 1\end{array}$$Die Einheitsmatrix ist fertig und in dem verbleibenden Vektor steht nun das Ergebnis.

Und das sollte hier $X=27,5$ und $b_2=19,5$ sein. Die Unbekannten des LGS stehen oberhalb der Spalten der Matrix.

Comments

Vielen Dank! :)

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Ist es nicht $Y=19.5$?

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Ich nehme die Frage zurück, ich hatte die veränderte Aufgabenstellung aus einem der Kommentare vor Augen.

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Die Lösungen sind x=5 und y=-3

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Die Lösungen sind x=5 und y=-3

Das ist hart! :-)

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Die Lösungen sind x=5 und y=-3

so so - und wie geht die Probe?

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Die Lösungen sind x=5 und y=-3

wenn man aus der $15$ oben links eine $-30$ macht, dann wäre das die Lösung.

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Ich hab ein - vor der 15 vergessen vielleicht kommt man deswegen nicht auf die Lösung?

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Ist Jordan Verfahren das selbe wie Gauß weil im Text steht jordan-Verfahren

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Ich hab ein - vor der 15 vergessen ..

dann wäre das Lösungspaar $(12,5|\,4,5)$

Ist Jordan Verfahren das selbe wie Gauß weil im Text steht jordan-Verfahren

Das was ich oben gezeigt habe ist das Gauß-Jordan-Verfahren. Lt. Wikipedia hört das Gauß-Verfahren auf, wenn die erste Stufenform erreicht ist - also bis hier$$\begin{array}{c|cc}8& 1& -1\\ 19,5& 0& 1\end{array}$$dann ist $b_2/Y = 19,5$ und das setzt man in die Gleichung da drüber ein$$8 = X - 19,5 \implies X = 27,5$$aber im Grunde ist das das gleiche. Die eigentliche Rechnung ist identisch.

Die Bezeichnung Gauß-Jordan ist wahrscheinlich passender.