LGS mit Summe und Produkt-Geht das?

Question

Guten späten Abend, ich weiß gar nicht ob um die Uhrzeit hier überhaupt noch jemand aktiv ist, aber ich stell trotzdem mal die Frage.. und zwar hab ich aus einer Sachtextaufgabe ein Gleichungssystem aufgestellt, das aus 2 Gleichungen und 2 Unbekannten (eigentlich wären es drei, aber eine Unbekannte ist schon gegeben) besteht, nun ist aber das Problem, dass die eine Gleichung ein Produkt und die andere eine Summe ist und das zu verrechnen klappt bei mir nicht so ganz.. Ginge das denn überhaupt?

Liebe Grüße und gute Nacht

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Schreib doch einfach mal die konkrete Aufgabe hier auf...

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Aus 2m Draht sollen die Kanten eines Quaders mit der Höhe 10cm geschnitten werden. Welche Maße hat ein Quader mit 3750 cm³ Rauminhalt?

Answer 1

Aloha :)

Der Draht-Quader hat die Seiten $a$, $b$ und $c$. Davon kennen wir:

1) die Höhe $c=10$.

2) die Gesamtlänge, denn jede Kante gibt es 4-mal: $4a+4b+4c=200$.

3) Das Volumen $a\cdot b\cdot c=3750$.

Wegen $c=10$ vereinfachen sich die beiden anderen Gleichungen zu:

$$4a+4b=200-4\cdot10=160\implies a+b=40\implies b=40-a$$$$a\cdot b\cdot10=3750\implies a\cdot b=375$$In die letzte Gleichung setzen wir nun $b=40-a$ ein:

$$375=a\cdot b=a\cdot(40-a)=40a-a^2\implies a^2-40a+375=0$$Zur Lösung dieser quadratischen Gleichung suchen wir zwei Zahlen mit Summe $(-40)$ und Produkt $375$. Das leisten die Zahlen $(-25)$ und $(-15)$. Daher gilt:$$(a-25)\cdot(a-15)=0$$Wir erhalten 2 Lösungen, nämlich $a=15$ und $a=25$. Das ist nicht verwunderlich, weil nicht klar ist, ob $a$ die Breite oder die Länge sein soll. Wählen wir $a=15$, muss $b=25$ sein und wählen wir $a=25$, muss $b=15$ sein.

Die Seitenlängen des Quaders sind also $10\,\mathrm{cm}$, $15\,\mathrm{cm}$ und $25\,\mathrm{cm}$.

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Wow, danke schön!

Answer 2

Ginge das denn überhaupt?

Das klappt meistens recht gut über das Einsetzungsverfahren.

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Das hab ich versucht, aber ich bekomm irgendwelche doofen Periodenzahlen raus..

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Aus 200 cm Draht sollen die Kanten eines Quaders mit der Höhe 10cm geschnitten werden. Welche Maße hat ein Quader mit 3750 cm3 Rauminhalt?

Höhe

c = 10 cm

Volumen

a·b·c = 3750 --> a·b = 375

Umfang

4·a + 4·b + 4·c = 200 --> a + b = 40 → b = 40 - a

b = 40 - a in a·b = 375 einsetzen

a·(40 - a) = 375 --> a1 = 25 cm ∨ a2 = 15 cm

Nun b ausrechnen

b1 = 40 - 25 = 15 cm
b2 = 40 - 15 = 25 cm

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Danke schön!

Answer 3

Das kann man normalerweise lösen. Allerdings ist des dann kein lineares Gleichungssystem mehr, sondern einfach nur ein Gleichungssystem.

1. Eine Gleichung nach einer Variablen umstellen.
2. In alle anderen Gleichungen einsetzen.
3. Wiederholen solange man noch nicht die Werte aller Variablen kennt.
   

Eine typische Aufgabe, die auf so ein Gleichungssystem führt: Ein Rechteck hat einen Umfang von 96cm und einen Flächeninhalt von 3cm². Wie lang sind die Seiten?

        2a + 2b = 96
        a·b = 3

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Dann hab ich wohl was falsch gemacht, denn wir machen zurzeit in der Schule lineare Gleichungssysteme..

Answer 4

Aus 2m Draht sollen die Kanten eines Quaders mit der Höhe 10cm geschnitten werden. Welche Maße hat ein Quader mit 3750 cm³ Rauminhalt?

$$4*a+4*b+4*10=200$$$$a+b+10=50$$$$b=40-a$$$$a*b=375$$$$a*(40-a)=375$$$$a^2-40a+375=0$$$$a_1=20+ \sqrt{400-375}$$$$a_1=20+ \sqrt{25}$$$$a_1=20+ 5=25=a$$$$a_2=20-5=15=b$$$$a=25 \space cm$$$$b=15 \space cm$$$$c=10 \space cm$$

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a∗(40−a)=375

a²-40a+375=0         Warum -40a und a² ? Müssten es nicht -a² und +40a sein?

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Ahh, Sie haben den Term *(-1) genommen, richtig?

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Richtig, ich wollte zur pq Formel kommen.