Bestimme α, β, γ ∈ R so, dass die Gleichung

Question

Aufgabe:

Lösungsformel für quadratische Gleichungen

Problem/Ansatz:

a)  Bestimme    α, β, γ ∈ R so, dass die Gleichung

ax² + bx + c = α (x + β)² + γ für alle x ∈ R   gilt.

b)  Berechne alle mögl. Lösungen x ∈ R der Gleichung

ax² + bx + c = 0.

Answer 1

ax² + bx + c

= a*( x^2 + (b/a)*x )   + c

= a*( x^2 + (b/a)*x  + b^2/(4a^2) )  -  b^2/(4a^2) )   )  + c

= a*( x + b/(2a))  ^2   - b^2/(4a^2)   )  + c

= a*( x + b/(2a))  ^2  - b^2/(4a)  + c

==>   α=a    ß=b/(2a)      γ  = c - b^2/(4a)

b) dann mit   a*( x + b/(2a))  ^2  - b^2/(4a)  + c = 0

 a*( x + b/(2a))  ^2     =   b^2/(4a)    - c  falls a≠0 also

   ( x + b/(2a))  ^2    =  b^2/(4a^2)    - c/a  falls   b^2/(4a^2)    - c/a ≥0

        x + b/(2a)    = ±√ (  b^2/(4a^2)    - c/a)

            x =  -b/(2a)   ±√ (  b^2/(4a^2)    - c/a)

Comments

Hast du dich bei a) bewusst für die umständliche Variante entschieden, um den Fragesteller zu beeindrucken?

Viel naheliegender ist doch, die rechte Seite auszumultiplizieren und dann einen Koeffizientenvergleich zu machen.

Answer 2

Text erkannt:

\( a \cdot x^{2}+b x+c=0 \mid: a \)
\( x^{2}+\frac{b}{a} \cdot x=-\frac{c}{a} \)
\( \left(x+\frac{b}{2 a}\right)^{2}=-\frac{c}{a}+\frac{b^{2}}{4 a^{2}}=\frac{b^{2}-4 a c}{4 a^{2}} \)
\( x_{1}=-\frac{b}{2 a}+\frac{1}{2 a} \cdot \sqrt{b^{2}-4 a c} \)
\( x_{2}=-\frac{b}{2 a}-\frac{1}{2 a} \cdot \sqrt{b^{2}-4 a c} \)