Potenzfunktion mit x in der Potenz

Question

Aufgabe:

25^x - 7 * 5^x = 8

Problem/Ansatz:

bitte mit Lösungsweg

Answer 1

Substituiere z=5^x.

Die Gleichung lautet dann z²-7z=8

Löse diese qu. Gleichung und mache die Substitution rückgängig.

Answer 2

Aloha :)

$$\left.25^x-7\cdot5^x=8\quad\right|25=5^2$$$$\left.(5^2)^x-7\cdot5^x=8\quad\right|(a^b)^c=a^{bc}=a^{cb}=(a^c)^b$$$$\left.(5^x)^2-7\cdot(5^x)=8\quad\right|-8$$$$\left.(5^x)^2-7\cdot(5^x)-8=0\quad\right|\text{faktorisieren}$$Zum Faktorisieren brauchen wir zwei Zahlen, deren Summe $(-7)$ und deren Produkt $(-8)$ ist. Das funktioniert mit $1$ und $(-8)$. Daher können wir weiter schreiben:$$\left.(5^x-8)\cdot(5^x+1)=0\quad\right|\text{Satz vom Nullprodukt}$$$$5^x=8\quad\lor\quad5^x=-1$$$5^x$ ist stets positiv, daher ist die zweite Gleichung in $\mathbb R$ nicht lösbar. Übrig bleibt:$$5^x=8\implies\ln(5^x)=\ln8\implies x\ln5=\ln8\implies x=\frac{\ln8}{\ln5}\approx1,29202967$$