Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Ecke und berechnen Sie den maximal möglichen Flachen- inhalt

Question

Aufgabe:

Von einer Glasscheibe der Länge 60 cm und der Breite 40cm ist eine Ecke abgebrochen, deren Rand näherungsweise durch eine Funktion f mit f(x) - 4 x beschrieben werden kann (vgl. Fig. 1). Aus dem Reststück soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt hergestellt werden. Eine Ecke des Rechtecks soll auf dem abgebrochenen Rand liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Ecke und berechnen Sie den maximal möglichen Flachen- inhalt

Ich brauch dringend Hilfe bei dieser Aufgabe, vorallem bei der Haupt und Nebenbedingung.

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Vom Duplikat:

Titel: Extremwertaufgabe Glas Scheibe

Stichworte: extremwertaufgabe

Von einer Glasscheibe der Länge 60 cm und der Breite 40cm ist eine Ecke abgebrochen, deren Rand näherungsweise durch eine Funktion f mit f(x)= 4-x² beschrieben werden kann (vgl. Fig. 1). Aus dem Reststück soll ein Rechteck mit möglichst großem Flächeninhalt hergestellt werden. Eine Ecke des Rechtecks soll auf dem abgebrochenen Rand liegen. Bestimmen Sie die Koordinaten dieser Ecke und berechnen Sie den maximal möglichen Flachen- inhalt

Problem:

Ich brauch dringend Hilfe bei dieser Aufgabe, vorallem bei der Haupt und Nebenbedingung.

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Wie genau lautet die Funktionsgleichung?

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Oh tut mir Leid die Funktion lautet: f(x)=4-x²

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Was hast du denn an Moliets' Lösung nicht verstanden?

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Bei der Rechnung wurde nicht mit der Funktion f(x)=4-x² gerechnet...

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Ja, weil du auch hier nicht die richtige Funktionsgleichung angegeben hast.

Dann greife den Ansatz von Werner-Salomon auf:

Zielfunktion $A= (4-x)(6-y)$, wobei y = f(x)

Answer 1

Hallo,

da Du bereits zwei Antworten erhalten hast, die IMHO beide nicht zu Deiner Frage passen, will ich es mal versuchen.

Die untere linke Ecke der Scheibe habe die Koordinate $(x,\, y)$. Dann ist das Fläche der verbleibende Scheibe$$A = (4-x)(6-y)$$Diese Fläche $A$ soll maximal werden und ist somit die Hauptbedingung. Da sich die Position der unteren linken Ecke auf der Funktion $f$ befindet, gilt die Nebenbedingung$$y = 4-x^2$$Einsetzen in die Hauptbedingung, Ableiten und Nullsetzen gibt$$\begin{aligned} A &= (4-x)(6-(4-x^2)) \\ &= (4-x)(2+x^2) \\&= -x^3 +4x^2 - 2x + 8 \\ A' &= -3x^2 + 8x - 2 \\ A'' &= -6x + 8 \\ A'(x_e) &= -3x_e^2 + 8x_e - 2 = 0 \\ x_{e1,2} &= \frac{-8 \pm \sqrt{8^2 - 4 \cdot (-3)\cdot(-2)}}{2 \cdot (-3)} \\&= - \frac 13 \left( -4 \pm \sqrt{10}\right)\end{aligned}$$Das sind zwei Lösungen. Nur für die Lösung$$x_{e2} = \frac 13(4 + \sqrt{10}) \approx 2,4$$gilt, dass $A''(x_{e2}) \lt 0$. Und damit beschreibt diese Lösung das Maximum.

Aber diese Lösung liegt außerhalb des Definitionsberereichs! $\mathbb D=\{x|\, 0 \le x \le 2 \}$.

Da die Funktion für $A(x)$ kubisch ist, und $x_{e1}$ ein lokales Minimum ist, kann man davon ausgehen, dass $A(x)$ im Bereich von $x_{e1}$ bis $x_{e2}$ monoton steigend ist. Folglich liegt der gesuchte Punkt am rechten Rand des Definitionsbereichs bei $x_{\text{opt}} = 2$.

Hier noch mal ein Graph zur Veranschaulichung:

Plotlux öffnen

f₁(x) = 4-x²f₂(x) = 6·(x>0)·(x<4)Zoom: x(-4…9) y(-2…7)P(2,4|-1,7)x = 2

PS.: streng genommen müsste man noch den linken Rand $x=0$ prüfen. Aber das kann schon rein augenscheinlich kein Maximum sein.

Gruß Werner

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Danke an alle für die in Anspruch genommene Zeit um mit weiter zuhelfen.

Answer 2

Schau dir mal diese Skizze an:

Die Zielfunktion ist der Flächeninhalt des Rechtecks $A=x\cdot f(x)=x\cdot (4-x^2)$

Untersuche diese Funktion auf ihr Maximum und melde dich, falls du noch Fragen hast.

Gruß, Silvia

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Die Zielfunktion ist ...

Die Scheibe ohne Ecke hatte die Maße 4x6 (s. Skizze in der Frage). Die Zielfunktion ist$$A= (4-x)(6-y)$$

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Die Scheibe habe ich total vergessen.

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Wie würde ich dann weiter vorgehen um die Aufgabe zu lösen?

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Hier stand etwas Falsches

Answer 3

Achsenabschnittsform der Geraden:

$\frac{x}{2}$ +$\frac{y}{4}$ =1   →   y= -2x + 4 →  f(x)=-2x+4

A(u)=(4-u)•(6-f(u))  soll maximal werden.

f(u)=-2u+4

A(u)=(4-u)•[6-(-2u+4)]=(4-u)•[2+2u] =8+8u-2u-2u²=8+6u-2u²

A´(u)=6-4u

6-4u=0   →  u = 1,5    f(1,5)=-2*1,5+4=1

A(1,5)=(4-1,5)•(6-1)=2,5*5=12,5