Wenn P um 2%, Y um 3% und M um 4% steigen, um wieviel Prozent verändert sich U näherungsweise?

Question

ich habe bei folgender Aufgabe leider überhaupt keinen Ansatz um diese zu lösen:

Die Umlaufgeschwindigkeit (U) des Geldes ist definiert als U = (P*Y)/M (mit P = Preisniveau, M = Geldmenge und Y = BiP). Wenn P um 2%, Y um 3% und M um 4% steigen, um wieviel Prozent verändert sich U näherungsweise?

Ich würde mich freuen wenn mir jemand helfen könnte!

Answer 1

Aloha :)

Willkommen in der Mathelounge... \o/

$$U=\frac{P\cdot Y}{M}$$

Die Näherungsweise Änderung von $U$ können wir mit Hilfe des totalen Differentials bestimmen:

$$dU=\frac{\partial U}{dP}\,dP+\frac{\partial U}{dY}\,dY+\frac{\partial U}{dY}\,dM=\frac{Y}{M}\,dP+\frac{P}{M}\,dY-\frac{P\cdot Y}{M^2}\,dM$$$$\phantom{dU}=\frac{P\cdot Y}{M}\,\frac{dP}{P}+\frac{P\cdot Y}{M}\,\frac{dY}{Y}-\frac{P\cdot Y}{M}\,\frac{dM}{M}=U\,\frac{dP}{P}+U\,\frac{dY}{Y}-U\,\frac{dM}{M}$$

Wenn wir noch beide Seiten der erhaltenen Gleichung durch $U$ dividieren, finden wir:$$\frac{dU}{U}=\frac{dP}{P}+\frac{dY}{Y}-\frac{dM}{M}$$

Uns sind hier die relativen Änderungen der einzelnen Größen bekannt:$$\frac{dP}{P}=2\%\quad;\quad\frac{dY}{Y}=3\%\quad;\quad\frac{dM}{M}=4\%$$Daraus ergibt sich die relative Änderung von $U$:

$$\frac{dU}{U}=\frac{dP}{P}+\frac{dY}{Y}-\frac{dM}{M}=2\%+3\%-4\%=1\%$$

Die relative Änderung von $U$ beträgt also näherungsweise $1\%$.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung !!

Kann man also theoretisch, wenn in der Aufgabenstellung die prozentualen Änderungen so angegeben sind wie hier, immer prozentuale Änderung des Preisniveaus + prozentuale Änderung des BiP - Änderung der Geldmenge rechnen?

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Das würde ich nicht tun. Es sind ja Faktoren, nicht Summanden.

Nimm ein Quadrat 10 m * 10 m. Wenn die Seite um 10 % verlängert wird, dann nimmt der Flächeninhalt auf 11 m * 11 m = 121 m² zu, also um 21 %, nicht 20 %.

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Du musst dir die Formel ansehen:$$U=\frac{P\cdot Y}{M}$$Für jeden Faktor im Zähler musst du seine relative Änderung 1-mal addieren. Für jeden Faktor im Nenner musst du seine relative Änderung 1-mal subtrahieren:$$\frac{dU}{U}=\frac{dP}{P}+\frac{dY}{Y}-\frac{dM}{M}$$

Wenn Potenzen auftauchen, musst du diese erst die Faktoren aufschreiben.$$X=\frac{A^2\cdot B}{C^3}=\frac{A\cdot A\cdot B}{C\cdot C\cdot C}$$Davon wäre die relative Änderung:$$\frac{dX}{X}=2\cdot\frac{dA}{A}+\frac{dB}{B}-3\cdot\frac{dC}{C}$$

Aber immer daran denken, dass es sich um die Näherung mit dem totalen Differential handelt. Die wendet man immer sehr gerne an, wenn man die genauen Werte für die Größen nicht kennt.

Answer 2

1.02*1.03/1.04 = 1.01019... also nimmt U näherungswiese um 1,019 % zu.

Comments

Vielen Dank für die schnelle Rückmeldung!!!!

Answer 3

Ihr macht das alle so kompliziert, nimm doch einfach fiktive runde Zahlen und rechne es aus...also z.B.

P=10, Y=100; M=5. U ausrechnen = 10*100/5=200

Jetzt verändern P=10*1,02, y=100*1,03, M=5*1,04. U ausrechnen, Steigerung ermitteln.