Lösen Sie die Gleichung exakt -3/25x^4 +4/5=0

Question

Aufgabe:

Lösen Sie die Gleichung exakt:

-3/25x⁴ +4/5=0

Problem/Ansatz:

Ich habe die Lösung und habe es bis hierhin verstanden: plus/minus \( \sqrt[4]{20/3} \). Dann wird mal \( \sqrt[4]{3³} \) gerechnet aber warum und woher kommt da das hoch drei?

Comments

Steht denn x^4 unter oder neben dem Bruchstrich?

Wie lang sind die Bruchstriche genau?

Welche Grundmenge betrachtet ihr? Reelle Zahlen, ev. auch komplexe?

Answer 1

Vermutlich möchte man Brüche unter der Wurzel loswerden und vor dieselbe ziehen. Dazu wird wie folgt mit \(\sqrt[4]{3^3}\) erweitert:$$\sqrt[4]{\frac{20}3}=\sqrt[4]{\frac{20}3\cdot}\frac{\sqrt[4]{3^3}}{\sqrt[4]{3^3}}=\sqrt[4]{\frac{20}3}\cdot\sqrt[4]{\frac{3^3}{3^3}}=\sqrt[4]{\frac{20\cdot3^3}{3\cdot3^3}}=\sqrt[4]{\frac{540}{3^4}}=\tfrac13\sqrt[4]{540}.$$

Comments

Danke dir aber ich verstehe nur nicht woher die hoch 3 bei \( \sqrt[4]{3³} \)  kommt. Muss man nicht einfach nur mal Wurzel drei rechnen?

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Wenn es sich um Quadratwurzeln handeln würde, wäre das richtig. Da es aber vierte Wurzeln sind, muss der Nenner in der vierten Potenz erscheinen. Dort hast du momentan \(\sqrt[4]3\). Um auf \(\sqrt[4]{3^4}\) zu kommen, muss also mit \(\sqrt[4]{3^3}\) erweitert werden.

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Achsooo! Dankee, jetzt verstehe ich es :)

Answer 2

-\( \frac{3}{25} \)x^4+\( \frac{4}{5} \)=0|*(-\( \frac{25}{3} \))

Text erkannt:

\( x^{4}=\frac{20}{3} \)
\( x_{1}=\sqrt[4]{\frac{20}{3}} \)
\( x_{2}=-\sqrt[4]{\frac{20}{3}} \)
\( x_{3}=i \cdot \sqrt[4]{\frac{20}{3}} \)
\( x_{4}=-i \cdot \sqrt[4]{\frac{20}{3}} \)

Answer 3

Sieh es mal so: $$ \sqrt[4\:]{\dfrac{20}{3}} = \sqrt[4\:]{\dfrac{3^3\cdot 20}{3^3\cdot3}} = \sqrt[4\:]{\dfrac{540}{3^4}} = \dots $$

Answer 4

Dann wird mal \( \sqrt[4]{3³} \) gerechnet

ich wüsste nicht, wieso.

Answer 5

Das Ziel ist, den Nenner rational zu machen. Dazu muss im Nenner 3^4 stehen. Da bereits eine 3 dasteht, muss unter der Wurzel mit 3^3 erweitert werden.

\( \sqrt[4]{20/3}\\=\sqrt[4]{\dfrac{20}{3}\cdot\dfrac{3^3}{3^3}}\\= \sqrt[4]{\dfrac{20\cdot 27}{3^4}} \\=\ldots \)