Binomialverteilung, Formel für Erfolg nach X Tagen / Versuchen

Question

Aufgabe:

Die Wahrscheinlichkeit, dass sich zwei Freunde während ihrer Mittagspause treffen, beträgt 5/9.

Wie viele solcher Treffversuche müssen an einem bestimmten Tag laufen, damit unter diesen mit einer Wahrscheinlichkeit > 95% mindestens ein Paar sich erfolgreich treffen wird?

Ich verstehe, wie sich ein Treffen nach X Tagen berechnet: P(X=6) = (q⁵)*p

Liege ich mit der Annahme richtig, dass für

p=(5/9)
p¹ + p² + p³ = 1.04 > 0.95, also nach 3 Treffen ?

Wie aber stelle ich eine dazugehörige lösbare Formel auf?

Vielen Dank für einen Kommentar :-)

Answer 1

Aloha :)

Die Wahrscheinlichkeit, dass $n$ Treffversuche fehlschlagen, beträgt $\left(1-\frac{5}{9}\right)^n=\left(\frac{4}{9}\right)^n$. Also ist die Wahrscheinlichkeit, dass bei $n$ Treffversuchen mindestens einer erfolgreich ist:$$p=1-\left(\frac{4}{9}\right)^n$$Wir müssen $n$ so wählen, dass diese Wahrscheinlichkeit größer als 95% ist:

$$\left.1-\left(\frac{4}{9}\right)^n>0,95\quad\right|-1$$$$\left.-\left(\frac{4}{9}\right)^n>-0,05\quad\right|\cdot(-1)$$$$\left.\left(\frac{4}{9}\right)^n<0,05\quad\right|\ln(\cdots)$$$$\left.n\cdot\ln\left(\frac{4}{9}\right)<\ln(0,05)\quad\right|:\,\ln\left(\frac{4}{9}\right)\quad\text{(beachte, dass das negativ ist)}$$$$\left.n>\frac{\ln(0,05)}{\ln\left(\frac{4}{9}\right)}=\frac{\ln\left(\frac{1}{20}\right)}{\ln\left(\frac{4}{9}\right)}=\frac{-\ln(20)}{\ln(4)-\ln(9)}\approx3,69\quad\right.$$Bei $4$ Teffversuchen kann man also mit mindestens 95% Wahrscheinlichkeit von mindestens einem Erfolg ausgehen.

Comments

super, vielen dank !