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Aufgabe:

2x^0,8*y^0,2-Lambda(8x+5y-100)

Muss optimiert werden
Servus, kann mir jemand diese Aufgabe mit Rechenweg ausrechnen ?

Ich steh hier komplett auf dem Schlauch und weiß nichtmehr weiter...


Danke !!!!

von

3 Antworten

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Aloha :)

Eine Funktion \(f(x;y)\) soll unter einer Nebenbedingung \(g(x;y)\) optimiert werden:$$f(x;y)=2x^{0,8}y^{0,2}\quad;\quad g(x;y)=8x+5y\stackrel!=100$$Die umständliche Rechnung über die Lagrange-Funktion ersparen wir uns. Stattdessen nutzen wir die Kern-Idee von Lagrange. Der Gradient der zu optimierenden Funktion muss eine Linearkombination der Gradienten aller Nebenbedingungen sein. Da wir hier nur eine Nebenbedingung haben, heißt das:

$$\operatorname{grad}f(x;y)=\lambda\operatorname{grad}g(x;y)\quad\implies\quad\binom{2\cdot0,8x^{-0,2}y^{0,2}}{2x^{0,8}\cdot0,2y^{-0.8}}=\lambda\binom{8}{5}$$Wir dividieren die erste Koordinatengleichung durch die zweite, um den Lagrange-Multiplikator \(\lambda\) loszuwerden:

$$\frac{2\cdot0,8x^{-0,2}y^{0,2}}{2x^{0,8}\cdot0,2y^{-0.8}}=\frac{4y^{0,2}}{x^{0,8}\cdot y^{-0.8}}=\frac{4y^{0,2}\cdot y^{0,8}}{x^{0,2}\cdot x^{0,8}}=\frac{4y}{x}\quad;\quad\frac{\lambda\cdot8}{\lambda\cdot5}=\frac{8}{5}\quad\implies$$$$\frac{4y}{x}=\frac{8}{5}\quad\implies\quad y=\frac{8}{5}\cdot\frac{x}{4}\quad\implies\quad \underline{\underline{y=\frac{2}{5}x}}$$

Wir setzen diesen Zusammenhang in die Nebenbedingung ein:$$100=8x+5y=8x+5\cdot\frac{2}{5}x=8x+2x=10x\quad\implies\quad\boxed{x=10\quad;\quad y=4}$$

Wir haben also ein Optimum gefunden:$$f_{max}=f(10;4)=2\cdot10^{0,8}\cdot4^{0,2}\approx16,651064$$

von 67 k 🚀
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f(x,y) = \( 2x^{0,8} \) *\( y^{0,2} \) - λ(8x+5y-100)


\( \frac{df(x,y) }{dx} \)= 2*0,8*\( x^{0,8-1} \)*\( y^{0,2} \) - 8 λ= 1,6*\( x^{-0,2} \)*\( y^{0,2} \) - 8 λ


\( \frac{df(x,y) }{dy} \)=\( 2x^{0,8} \)*0,2*\( y^{0,2-1} \) - 5 λ = \( 0,4x^{0,8} \)*\( y^{-0,8} \) - 5 λ


\( \frac{df(x,y) }{dλ} \)= -(8x+5y-100)


1.) 1,6*\( x^{-0,2} \)*\( y^{0,2} \) - 8 λ=0


2.) \( 0,4x^{0,8} \)*\( y^{-0,8} \) - 5 λ


3.) 8x+5y-100=0

von 8,3 k
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Hallo

 1. nach x ableiten und =0 setzen

2. nach y ableiten und =0 setzen

3. nach λ ableiten und 0 setzen

um diakritischen Stellen zu finden.

da du ja  nicht mehr auf der Schule bist, kannst du das Ableiten sicher!

den sag, was du genau nicht kannst.

lul

von 56 k 🚀

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