Höhere Mathematik 2 Newtonsche Reibung

Question

Fällt ein Körper mit Masse $m=1$ unter Einfluss der Schwerkraft, so wird die turbulente Reibung des Mediums durch eine Kraft $F_{r}=\mu v^{2}(t)$ in Abhängigkeit der momentanen Geschwindigkeit modelliert. Dieses Modell wird auch Newton'sche Reibung genannt. Die Bewegung lässt sich durch die Differenzialgleichung
$x^{\prime \prime}(t)+\mu\left(x^{\prime}(t)\right)^{2}=g$
beschreiben, wobei $x(t)$ die bis zur Zeit $t$ zurückgelegte Höhendifferenz, $v(t)=x^{\prime}(t)$ die Geschwindigkeit, $\mu$ den Reibungskoeffizienten und $g$ die Erdbeschleunigung bezeichnen.

a) Rechnen Sie nach, dass die Funktion
$x(t)=\frac{1}{\mu} \ln (\cosh (\sqrt{\mu g} t))$
die Lösung dieser Gleichung mit den Eigenschaften $x(0)=x^{\prime}(0)$ ist.
b) Zeigen Sie, dass diese Lösung für $\mu \rightarrow 0$ gegen die bekannte Lösung, $x(t)=\frac{g}{2} t^{2}$, des freien Falls im Vakuum konvergiert:
$\lim \limits_{\mu \rightarrow 0} \frac{1}{\mu} \ln (\cosh (\sqrt{\mu g} t))=\frac{g}{2} t^{2} .$

Answer 1

Hallo

von der gegebenen Funktion x(t) die 2 Ableitungen bilden und in die Dgl einsetzen, ausserdem nachprüfen, dass x(0)=x'(0) ist.

b würd ich L'Hopttal versuchen oder ln durch Reihe von ln(1+x) ersetzen.

lul