Zeigen Sie, dass λ^k ein Eigenwert von A^k ist.

Question

Aufgabe:

Sei A ∈ Kn×n mit Eigenwert λ ∈ K. Sei k ∈ N.
(a) Zeigen Sie, dass λ^k ein Eigenwert von A^k ist. Ist umgekehrt µ ∈ K und µ^k ein Eigenwert von A^k, ist dann auch µ ein Eigenwert von A?
(b) Sei A zusätzlich invertierbar. Zeigen Sie, dass λ^−1 ein Eigenwert von A−1 ist. Was gilt für die zugehörigen Eigenräume Eλ(A) und Eλ−1 (A−1)?

Comments

Hast du denn wirklich gar keine Idee??

Answer 1

Sei A ∈ K^n×n mit Eigenwert λ ∈ K. Sei k ∈ N.

==> Es gibt x≠0 mit A*x = λ*x

probiere mal für k=2:  A^2*x = A* (A*x) = A*( λ*x ) =  λ*(A*x) =  λ*( λ*x ) =  λ^2*x.

Das kannst du mit Induktion für alle n zeigen.

Umgekehrt gilt es nicht: Betrachte die Einheitsmatrix E, die hat nur EW=1.

Aber (-1)^2 = 1 und E^2=E hieße: E hat auch EW=-1, das ist aber falsch.

Idee für b)       A*x = λ*x  von links mal A^(-1) gibt

                    E*x =  A^(-1)*λ*x = λ* A^(-1)*x

==>                λ^(-1)*x= A^(-1)*x

Comments

Ich habe nach meiner Rechnung, dass die Eigenräume von A^-1 und A den gleichen Raum aufspannen, aber weitere Auffälligkeiten habe ich nicht gesehen

---

Na das ist doch ein gutes Ergebnis: Die Eigenräume sind beide gleich !

---

Geich, im Sinne von mit gleichen Basen?

---

Muss nicht sein, ein und derselbe Vektorraum kann ja durchaus unterschiedliche Basen haben, etwa bei R^2

(1;0) und (0;1

oder auch

(1;2) und (1;1) oder so.

Die Mengen der Eigenvektoren (Das ist der Eigenraum.)

bei A und A^(-1) sind gleich, also wenn ein v aus dem einen

ist, dann ist es auch aus dem anderen wie die

Äquivalenz A*x = λ*x <=>       λ^(-1)*x= A^(-1)*x zeigt.

---

gibt es noch andere Auffälligkeiten, außer dass der aufgespannte Raum gleich ist

---

Wenn man zwei Dinge vergleicht und stellt fest:

"Sie sind genau gleich."

Dann ist das doch wohl die stärkste Aussage, die

möglich ist.