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Aufgabe:

Gegeben ist die Funktion f: (-1, unendlich) -> R, f(x) = ln(1+x).

a) Entwickeln Sie eine Funktion f an der Stelle xo = 1 in eine Taylor Reihe, indem sie zunächst eine Formel für f^(n)(x) mit n aufstellen und per vollständiger Induktion beweisen.

b) Bestimmen Sie alle x in der die Taylor Reihe konvergiert.


Problem/Ansatz:

Hallo:)

Ich weiß überhaupt nicht was die von mir wollen . Aufgaben teil b würd ich noch hinkriegen aber bei a steht ich auf dem Schlauch.

vor von

Bei a sollst du zuerst die n-te Ableitung von f bestimmen. Du kannst ja mal die ersten 3-4 Ableitungen ausrechnen und schauen ob du ein Muster erkennst.

Also die Ableitungen sind doch :

1/(x+1)

-1/(x+1)^2

2/(x+1)^3

Man erkennt schon ein Muster aber wie mach ich jetzt weiter

Ja genau, das sieht gut aus. Wenn du die n-te Ableitung betrachtest, wie hängt das Vorzeichen von n ab? Wie der Zähler? Denk mal an die Fakultät. Wie der Exponent im Nenner?

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Beste Antwort

Ableitungen sind

1/(x+1) ; -1/(x+1)^2 ; 2/(x+1)^3 ; -6/(x+1)^4 ; 24/(x+1)^5

also wohl f(n) (x) = (-1)^(n+1) * (n-1)! / (x+1)^n

vor von 227 k 🚀

Okay und jetzt muss man das ja mit einer Induktion beweisen. Aber ich komme bei dem Beweis nicht Weiter. Den Induktionsanfang hab ich für n=1.

Für Induktionschritt hab ich Voraussetzung: A(n)

Behauptung: A(n+1)

Und der Beweis?

Bew.:   f(n) (x) = (-1)^(n+1) * (n-1)! / (x+1)^n

==>  f(n+1) (x) = Ableitung von f(n)

                 =  (-1)^(n+1) * (n-1)! * Ableitung von (x+1)^(-n)

                   =  (-1)^(n+1) * (n-1)! * (-n) * (x+1)^(-n-1)

                 =  (-1)^(n+1) * (n-1)! * (-1) *n *  1 /(x+1)^(n+1)

                 =  (-1)^(n+2) * n! *  1 /(x+1)^(n+1)  Passt !

Wie würdet ihr bei b) vorgehen? habe für den Grenzwert q = 0 und für R = 1/q = ∞ und ihr so?

Wie hast du das umgeformt? Also was hast du für an und an+1. Man muss ja den Teil mit dem x von dem mit dem n trennen oder ?

Meinst du die Koeffizienten für die Taylorreihe ?

Da es mit Entwicklungspunkt 1 ist, sehen die so aus

an = f(n)(1) / n!

und es ist (s.o.) f(n)(1) = (-1)^(n+1)*(n-1)! / (2^n)

==>   an =  (-1)^(n+1) / (n*2^n)

Hey zusammen

darf ich mal fragen warum man beim beweis bei a) nur den teil unten im bruch ableitet und der teil oben einfach stehn bleibt?

mfg

s.o. Der Zähler ändert sich auch:

1/(x+1) ; -1/(x+1)^2 ; 2/(x+1)^3 ; -6/(x+1)^4 ; 24/(x+1)^5

Das ist einfach nur wie bei der Ableitung von 1 / x^n .

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