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Aufgabe:

Wie viele Möglichkeiten gibt es 2n; n ∈ N Personen in Gruppen zu zwei Personen aufzuteilen? Beweisen Sie die gefundene Aussage.


Problem/Ansatz:

Hallo ,also ich muss diese Aufgabe lösen ich weisse ,dass man mit l'aplace lösen kann

wie ich anfangen soll  welche Form soll ich benutzen?

Danke im Voraus

Jian

von

3 Antworten

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Aloha :)

Stell alle \(2n\) Leute in einer Reihe auf. Jetzt sollst du bestimmen, wie viele Möglichkeiten du hast, genau \(2\) Leute auszuwählen. Bei der ersten Person kannst du aus \(2n\) Leuten wählen, bei der zweiten Person nur noch aus \((2n-1)\) Leuten. Das sind zusammen \(2n(2n-1)\) Möglichkeiten.

Jetzt musst du noch bedenken, dass du dasselbe Paar bekommst, wenn du zuerst die 2-te Person und dann erst die 1-te Person auswählen würdest, also die Auswahlreihenfolge vertauschen würdest. Daher musst du die Anzahl der Möglichkeiten von oben noch halbieren.

Es gibt also genau \(n(2n-1)\) Möglichkeiten, aus \(2n\) Leuten genau \(2\) auszuwählen.

von 71 k 🚀

Das hat doch nichts mit der Aufgabe zu tun.

Anzahl =  ∏ [ i = 1 .. n ]  (2i - 1) .

@Tschaka

Es geht hier nicht um ein einzelnes Paar, sondern die ganze Menge soll in Paare aufgeteilt werden.

Oha, dann habe ich die Aufgabe falsch verstanden...

Danke für den Hinweis ;)

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Ich versuche es mit Beispielen.

n=1: AB → 1 Möglichkeit


n=2: ABCD

AB|CD,

AC|BD,

AD|BC → 3 Möglichkeiten

3=1*3


n=3: ABCDEF

AB|CD|EF,

AB|CE|DF

AB|CF|DE      3 mit AB

AC|BD|EF,

AC|BE|DF

AC|BF|DE      3mit AC

AD|BC|EF,      3

...

AE| ...             3

...

AF|...              3

...

--> 15 Möglichkeiten

15=1*3*5

Also das Produkt der ersten n ungeraden Zahlen.

:-)

von 24 k
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(2n über 2) = (2n)!/((2!*(2n-2)!)

= (2n)*(2n-1)/2 = n*(2n-1)

von 58 k 🚀

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