Rekursive Folge, Beschreibung des Grenzwertes

Question

Hallo,

ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand bei der Lösung dieser Aufgabe helfen könnte!

Für $c \in \mathbb{R}_{>0}$ ist die Zahlenfolge $\left(x_{n}\right)_{n}$ folgendermaßen rekursiv definiert:

$x_{n+1}=2 x_{n}-c x_{n}^{2}, n \in \mathbb{N} \cup\{0\}$

für $0<x_{0}<\frac{1}{c}$ beliebig.

a) Zu zeigen ist, dass $x_{n}<\frac{1}{c}$ und $x_{n}>0$ für alle $n \in \mathbb{N} \cup\{0\}$ gilt.

b) Zu begründen ist, dass $\left(x_{n}\right)_{n}$ konvergiert. Es muss noch eine Beschreibung des Grenzwerts angegeben werden.

Vielen Dank voraus! :)

Answer 1

Aloha :)

Wir haben mit $c>0$ eine reelle Konsante und folgende rekursive Folge gegeben:$$x_{n+1}=2x_n-cx_n^2\quad;\quad 0<x_0<\frac{1}{c}\quad;\quad n\in\mathbb N_0\quad;\quad c>0$$

Die Rekursions-Vorschrift ist so etwas unhandlich zu untersuchen, deswegen formen wir sie etwas um:

$$cx_{n+1}=2cx_n-c^2x_n^2\implies$$$$cx_{n+1}-1=-c^2x_n^2+2cx_n-1=-(c^2x_n^2-2cx_n+1)=-(cx_n-1)^2$$

Damit können wir die Rekursionsgleichung nun so umformulieren:$$cx_{n+1}=1-(cx_n-1)^2\quad;\quad 0<cx_0<1\quad;\quad n\in\mathbb N_0\quad;\quad c>0$$

zu a) Beschränktheit

Wir sollen zeigen, dass: $0<x_n<\frac{1}{c}$ für alle $n\in\mathbb N_0$

Das ist gleichbedeutend mit: $\;0<cx_n<1$ für alle $n\in\mathbb N_0$.

Wir zeigen das mit vollständiger Induktion. Dabei ist wegen $0<cx_0<1$ der Induktionsanfang für $n=0$ geschenkt. Im Induktionsschritt überlegen wir uns:$$0<cx_n<1\implies-1<cx_n-1<0\implies0<(cx_n-1)^2<1\implies$$$$0>-(cx_n-1)^2>-1\implies1>1-(cx_n-1)^2>0\implies1>cx_{n+1}>0\quad\checkmark$$Damit gilt $0<cx_n<1$ für alle $n\in\mathbb N_0$.

zu b) Konvergenz begründen

Jede beschränkte monotone Folge konvergiert. Es reicht also für den Beleg der Konvergenz zu zeigen, dass die Folge monoton ist.$$cx_{n+1}-cx_n=1-(cx_n-1)^2-cx_n=1-(c^2x_n^2-2cx_n+1)-cx_n$$$$\phantom{cx_{n+1}-cx_n}=cx_n-c^2x_n^2=\underbrace{cx_n}_{>0}\cdot\underbrace{(1-cx_n)}_{>0}>0$$Nach (a) sind beide Faktoren postiv und daher die Folge $(x_n)$ streng monoton wachsend. Damit ist die Konvergenz gesichert.

zu b) Grenzwert bestimmen

Mit $x\coloneqq\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\lim\limits_{n\to\infty}x_{n+1}$ finden wir den Grenzwert $x$:$$x=2x-cx^2\implies x-cx^2=0\implies x(1-cx)=0\implies x=0\;\lor\;x=\frac{1}{c}$$Da die Folge streng monoton wächst, scheidet $0$ als Grenzwert aus und wir finden:$$x=\lim\limits_{n\to\infty}x_n=\frac{1}{c}$$

Answer 2

Wenn du für die Konvergenz schon argumentiert hast, dann

verwende, dass xn+1 und xn den gleichen Grenzwert haben, also

g = 2g - cg²

Also g=0 oder g=1÷c