Wie lautet eine Gleichung der Ebene „E1“, in der das Parallelogramm liegt?

Question

Aufgabe

Von einem Parallelogramm ABCD sind die Ecken A (2 /–3/ 2) und B (6 / 1 /–1) bekannt.
Außerdem liege sein Diagonale – Schnittpunkt vorerst bei M1 (2/0/6).
a) Wo befinden sich die Ecken C und D?
b) Zeigen Sie rechnerisch, dass der Winkel ∠ABC = 57.368° sei.
c) Wie groß ist die Fläche des Parallelogramms?
d) Wie lautet eine Gleichung der Ebene „E1“, in der das Parallelogramm liegt?
e) Berechnen Sie mit Hilfe des Winkels ∠BAM, wie gross der Abstand des Punktes
M1 von der Geraden AB ist.
f) Wie lautet eine Gleichung der Ebene „E2“,
die durch die Punkte P (1/2/3) und Q (4/5/6) verläuft
und die senkrecht zur Ebene „E1“, steht?
g) Angenommen nicht M1 sondern M2 sei der Diagonale – Schnittpunkt.

Wo auf der x – Achse muss M2 liegen, damit das Parallelogramm ein Rhombus ist?

Problem/Ansatz:

Analytische Geometrie

Answer 1

a) $\vec{OC} = \vec{OA} + 2\vec{AM_1}$

   $\vec{OD} = \vec{OB} + 2\vec{BM_1}$

b) $\cos\angle ABC = \frac{\vec{BA}\cdot\vec{BC}}{\left|\vec{BA}\right|\cdot\left|\vec{BC}\right|}$

c) $\text{Fläche} = \left|\vec{AB}\times\vec{AD}\right|$

d) $E_1: \vec{x} = \vec{OA}+r\cdot{AB}+s\cdot\vec{AM_1}$

e) $\sin\angle BAM_1 = \frac{\text{Abstand}}{\left|\vec{AM_1}\right|}$

f) $E_1: \vec{x} = \vec{OP}+r\cdot{PQ}+s\cdot\vec{AB}\times\vec{AM_1}$

g) $\vec{OM_2} = \begin{pmatrix}x\\0\\0\end{pmatrix}$ und $\left|AM_2\vec{}\right|= \left|\vec{BM_2}\right|$

Answer 2

Zu a) $\vec{AM}$=$\begin{pmatrix} 0\\3\\4 \end{pmatrix}$,   $\vec{BM}$=$\begin{pmatrix} -4\\-1\\13 \end{pmatrix}$.

$\vec{OA}$ +2·$\vec{AM}$ =$\begin{pmatrix} 2\\-3\\2 \end{pmatrix}$ +$\begin{pmatrix} 0\\6\\8 \end{pmatrix}$ =$\begin{pmatrix} 2\\3\\10 \end{pmatrix}$.  Dann ist C(2|3|10).

$\vec{OB}$ +2·$\vec{BM}$ =$\begin{pmatrix} 6\\1\\-7 \end{pmatrix}$ +$\begin{pmatrix} -8\\-2\\26 \end{pmatrix}$ =$\begin{pmatrix} -2\\-1\\19 \end{pmatrix}$. Dann ist D(-2|-1|19).