Zeigen Sie, dass (R,+) über (R,+,.) ein endlichdimensionaler Vektorraum [...] ist.

Question

(c) Zeigen Sie, dass $(\mathbb{R},+)$ über $(\mathbb{R},+, .)$ ein endlichdimensionaler Vektorraum aber über $(\mathbb{Q},+, .)$ ein unendlichdimensionaler Vektorraum ist.

Answer 1

$(\mathbb{R},+)$ ist über $(\mathbb{R},+, \cdot)$ ein endlichdimensionaler Vektorraum, weil $\{1\}$ ein endliches Erzeugendensystem ist.

$(\mathbb{R},+)$ ist über $(\mathbb{Q},+, \cdot)$ ein unendlichdimensionaler Vektorraum, weil mit abzählbar vielen Elementen im Körper und abzählbar vielen Elementen in der Basis nur abzählbar viele Vektoren erzeugt werden können.